Défi 29

[Imod]

Un peu dans le même esprit que le précédent mais avec une continuité pour compliquer les choses .

Existe-il une fontion continue de dans telle que l'image de tout irrationnel soit irrationnelle , l'image de tout rationnel non nul soit rationnelle et l'image de 0 soit irrationnelle ?

Imod

[sandrine_guillerme]

Un peu dans le même esprit que le précédent mais avec une continuité pour compliquer les choses .

Existe-il une fontion continue de dans telle que l'image de tout irrationnel soit irrationnelle , l'image de tout rationnel non nul soit rationnelle et l'image de 0 soit irrationnelle ?

Imod

Salut Imod

Oui bien sûr ! difficile à voir mais théoriquement on le sens
On utilise tout simplement la caractérisation de Riemann !

L'ensemble de discontinuité est dénombrable donc négligeable.

[Imod]

Salut Imod

Oui bien sûr ! difficile à voir mais théoriquement on le sens
On utilise tout simplement la caractérisation de Riemann !

L'ensemble de discontinuité est dénombrable donc négligeable.

L'ensemble des points de discontinuité doit être vide et c'est le zéro qui pose problème sinon la fonction égale à l'identité sur et prenant la valeur en 0 répondrait à la question .

Il faut fouiller un peu plus :we:

Imod

[sandrine_guillerme]

L'ensemble des points de discontinuité doit être vide

pour dire que la fonction est continue ? tu penses que c'est tout ?

[Imod]

pour dire que la fonction est continue ? tu penses que c'est tout ?

Je n'ai pas dit qu'elle était continue , justement , il y a un problème en 0 et toute la difficulté est de lever ce problème si tu vois ce que je veux dire !

Imod

[sandrine_guillerme]

humm oublis tout ce que j'ai dis :girl2:

je vais réfléchir.

[Imod]

Pas de problème , Sandrine , il faut toujours un moment pour s'imprégner d'un défi et se "planter" un bon coup est sûrement plus profitable que nager en eau trouble . Tu as sans doute remarquer que je me plante souvent et sans honte : l'erreur fait partie de l'apprentissage :we:

Imod

[sandrine_guillerme]

Salut

je commence à gouter le problème je dirais que non il n'en existe pas de tel fonction (intuitivement)

[Imod]

L'intuition joue parfois des tours :we:

Imod

[maf]

Selon mon intuiton, cela est possible ...

Pour une première raison, c'est que 0 étant un nombre rationnel par définition.
Un nombre rationnel est toujours entouré par 2 irrationnels donc, on peut espérer trouver la même valeur pour ces deux irrationnels et donner la limite en 0, pour cela, il nous faut donc une fonction indeterminée en 0.

Après quoi je me suis lancer dans des recherches avec des fonctions du type

G(x)/(H(x) + sin(I(x*pi))) ayant une indertermination en 0... mais rien de bien concluant ...

[Zebulon]

Bonsoir,

Oui bien sûr ! difficile à voir mais théoriquement on le sens
On utilise tout simplement la caractérisation de Riemann !

L'ensemble de discontinuité est dénombrable donc négligeable.

ça, ça montrerait que cette fonction est intégrable au sens de Riemann.

[sandrine_guillerme]

Oui tu as raison Zebulon .. tu as raison, c'est pour ça que j'ai dis a Imod d'oublier ce que j'ai dis ! :p

[Imod]

Selon mon intuiton, cela est possible ...

Pour une première raison, c'est que 0 étant un nombre rationnel par définition.
Un nombre rationnel est toujours entouré par 2 irrationnels donc, on peut espérer trouver la même valeur pour ces deux irrationnels et donner la limite en 0 .

L'idée n'est pas loin , il faut considérer une suite à valeurs rationnelles convergent vers une valeur irrationnelle ( inutile de l'expliciter , on sait qu'il en existe ) et l'utiliser astucieusement .

Imod

[Imod]

Une petite indication : si on considère une fonction affine non constante qui a deux images rationnelles pour deux valeurs rationnelles alors cette fonction envoie rationnel sur rationnel et irrationnel sur irrationnel .

Imod

[Joker62]

f(x) = x :)
Bon c'était trivial...

[Imod]

f(x) = x
Bon c'était trivial...

C'est bien sûr la première idée qui vient , le fait de pouvoir choisir n'importe quelle fonction affine prenant deux valeurs rationnelles pour deux rationnels ouvre pas mal de nouvelles perspectives . Reste à relier ça à notre suite .

Imod

[yos]

Affine par morceaux reliant les points (et aussi les points )?

[Imod]

Affine par morceaux reliant les points (et aussi les points )?

Affine par morceaux oui ! Mais pas avec les points que tu as choisi ( il faudrait faire tendre n vers 0 :we: ) Tu n'es pas loin de la solution !

Imod

[yos]

Ah ben oui, c'est plutôt . Mais autour du point , les segments de droite sont de plus en plus petit, donc il faut envisager une limite de suite de fonctions constantes sur [-1/n, 1/n] (et égales à ). cvu de fonctions continues et le fait qu'elle envoie Q* sur Q*, etc se vérifie facilement point par point. Il faut des détails?

[Imod]

Ah ben oui, c'est plutôt . Mais autour du point , les segments de droite sont de plus en plus petit, donc il faut envisager une limite de suite de fonctions constantes sur [-1/n, 1/n] (et égales à ). cvu de fonctions continues et le fait qu'elle envoie Q* sur Q*, etc se vérifie facilement point par point. Il faut des détails?

Ne serait-il pas plus simple de considérer une fonction affine sur avec ( en éliminant de la suite toutes les valeurs "constantes" ) ? La fonction étant ensuite complétée par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées .

Imod