Défi 29

[yos]

Il faut bien faire une limite non? Ton recollement avec le point 0 est pas très clair.

[Imod]

La limite de f(x) en 0 est clairement la limite de la suite , non ?

Imod

[yos]

Je dois pas tout comprendre. Voilà ma construction. Est-elle inutilement tordue?

On prend suite de rationnels qui converge vers .
Pour chaque n, on définit la fonction de la façon suivante :
Pour k<n, f_n est affine sur [1/(k+1), 1/k] avec , et . Elle est donc définie sur [1/n,0]. On la complète par symétrie sur [-1,-1/n]. Enfin, on relie les deux morceaux par un segment horizontal sur [-1/n,1/n].
On a ainsi une suite de fonctions continues dont la limite uniforme vérifie tout ce qu'il faut.

[Imod]

Je dois pas tout comprendre. Voilà ma construction. Est-elle inutilement tordue?

Non bien sûr , je voulais simplement dire que l'on pouvait construire directement à partir de de la façon suivante :
à valeurs dans avec convergent vers . On peut supposer en plus que deux valeurs successives de sont distinctes , on définit alors par :


affine sur ]
si 1
.

Il n'y a pas de problème en zéro et f vérifie les conditions .

Imod

[yos]

Oui d'accord, on peut supoposer strictement croissante par exemple. Un pallier horizontal dans la fonction f étant à exclure.
Le problème que je soulève en 0 est le fait que sur tout intervalle contenant 0, la courbe est formée d'une infinité de segments, dont aucun n'a pour extrémité le point d'abscisse 0. La continuité est donc à établir à la main. Je reconnais que ça ne mérite pas une suite de fonctions.

[Imod]

Je comprends tes réticences yos , mais n'entraîne-t-il pas naturellement la limite en zéro ? Il est vrai que l'on touche ici à l'infini et que deux précautions valent mieux qu'une . La continuité m'avait semblé naturelle mais du coup je m'interroge .

Imod

[yos]

C'est assez clair en effet. L'argument f(1/n) tend vers L donc f(x) tend vers L est utilisable si tu sais qu'il y a une limite. Et la monotonie est une condition suffisante.
Sinon, il faudrait
"pour toute suite de limite 0, tend vers L"
mais ça tu le sais.

[Imod]

En fait yos , la continuité ne dépend pas de la suite mais seulement de la façon dont on a défini la fonction entre et . Je n'avais pas fait les calculs et en fin de compte , ce n'est pas si évident que cela . La fonction est définie sur par . Mais pour : . Alors et est continue en 0 .

Imod