Défi 28

[Imod]

Plus simple que les précédents et amusant :

Existe-t-il une bijection de dans telle que ?

Amusez-vous bien !

Imod

PS : si personne n'a d'idée pour le défi 25 avec les triangles , je peux donner une piste car j'ai maintenant une démonstration courte et claire , si le point de départ est simple , il est quand même assez astucieux . De même pour les angles : 30°, 70° et 80° .

[maf]

Je ne suis pas très sur de ma démo ...

mais je trouverais f(x) = -x (fonction bien bijective)

Démo :
f(x) = y = -x
f(-x) = x
fonction impaire

f(f(x)) = f(y) = -y = x (ou si vous préférez f(x) composée f(x))

Je pose Id = f^(-1)(f(x))

d'où la relation demandée : f(f(x)) = - f^(-1)(f(x))

x = f^(-1)(x) = -y

f^(-1)(f(x)) = f^(-1)(y) = f^(-1)(-x)

f^(-1) est également impaire

d'où f^(-1)(-x) = - f^(-1)(x) = -x

Dans la relation demandée : f(f(x)) = - f^(-1)(f(x))

on a f(f(x)) = x ... et - f^(-1)(f(x)) = -(-x) = x ... CQFD

A moins que j'aille fait tout faux ... :marteau: :mur: :stupid_in

[maturin]

oui mais là on veut que f(f(x))=-x et non x

[fahr451]

s'il y a une solution elle ne saurait être continue sur R, car sinon elle serait strictement monotone et la composée serait strictement croissante ce qui n 'est pas le cas de -id

[maturin]

moi je propose:
si |x|>1 f(x)=-1/x
si 0<|x|<1 f(x)=1/x
et
f(1)=0
f(0)=-1
f(-1)=1

edit: non ça marche pas pour 0 et -1

[fahr451]

f(x) = y donne f(y) = -x puis f(-x) = -y
donc une solution est forcément impaire.

[maf]

J'ai une petite question maturin ...

On te demande f(f(x)) = - f^(-1)(f(x)) non ??

Y a qqch que je comprends plus ... c'est vrai ce que tu dis ... mais si Id = f^(-1)(f(x)) pkoi alors j'ai réussi à démontrer f(f(x)) = - f^(-1)(f(x)) :cry:

[maturin]

donc je reprends
si |x|>1 et |x|!=2, f(x)=-1/x
si 0<|x|<1, f(x)=1/x
et
f(0)=0
f(1)=2
f(2)=-1
f(-1)=-2
f(-2)=1

Là ça marche mieux :)

[maturin]

ben selon moi t'as pas démontré ça.
T'as démontré que si on supposait f°f=-Id alors f(f(x))=-x=-f^(-1)(f(x))
Enfin faut dire que j'ai pas bien suivit ta démo :)

[maf]

Je te dirais que j'ai eu un coup de folie lol ... j'essaie de relire ... et je comprends plus tout non plus ... :ptdr:

[maturin]

alors soit cette fonction:

pour tout n de N
si alors f(x)=x+1 et f(-x)=-x-1
si alors f(x)=-x+1 et f(-x)=x-1
f(0)=0

ça a l'air de marcher comme fonction

enfin vu le nombre de test foireux que j'ai fait ça m'étonnerait qu'à moitié que je me sois planté.

[fahr451]

ça a l'air de marcher

[Imod]

Oui , l'exemple de Maturin a l'air de marcher . Personnellement je n'avais pas explicité de solution mais montré qu'on pouvait en obtenir une infinité de la façon suivante ( L'exemple de Maturin a l'air d'être l'une d'elles ) .

On considère une partition de en deux parties équipotentes et . Alors et . On considère une bijection quelconque de dans et on définit par :






Alors a la propriété voulue .

Imod