Défi 27

par **yos** » 26 Jan 2007, 19:05

On définit la suite u par :

et la relation

.
Etudier cette suite. (limite, monotonie à partir d'un certain rang).
Bon courage.

par **Imod** » 26 Jan 2007, 20:55

Après un bref coup d'oeil s'il y a limite ce ne peut être que 1 car tous les termes de la suite sont supérieurs au minimum de

et

donc zéro est interdit . Mais bon il y a sûrement bien d'autres choses à dire :we:

Imod

par **fahr451** » 26 Jan 2007, 22:02

u est majorée par 1
en prenant M = min ( u0 , u1)

on montre que u(2n) et u(2n+1) sont supérieurs à M ^ [ (1/2)^n ] qui tend vers 1

par **yos** » 26 Jan 2007, 22:40

Tu fais ça par récurrence j'imagine. Ca marche bien en effet. C'est bien vu.
Et le sens de variation?

par **Imod** » 27 Jan 2007, 18:59

Sans apporter de résultat définitif , si à un moment donné on a

alors par récurrence c'est vrai pour les valeurs suivantes de

et la suite est croissante mais cette situation se produit-elle nécessairement ?

Imod

par **yos** » 27 Jan 2007, 21:12

J'ai un argument assez simple qui montre que

est croissante à partir d'un certain rang. Je n'utilise pas ce que tu dis.

par **Imod** » 28 Jan 2007, 00:12

Je n'ai jamais eu l'esprit analytique et ce n'est pas mon moindre défaut !!! Géométriquement , comme

tend vers 1 , la pente de la droite passant par les points

et

tend vers

donc est inférieure à 1 à partir d'un certain rang . Comme

ne peut pas être décroissante il existe un indice

pour lequel on a

et la pente de la droite passant par

et

est inférieure à 1 . Comme

est concave sur

,

est supérieur à

et que la pente de la nouvelle droite

et

est inférieure à la pente précédente , on peut réitérer le processus et la suite est croissante .

Ce n'est qu'un premier jet sans vérification , j'espère ne pas avoir trop déliré , je vais me coucher :we:

Imod

par **yos** » 28 Jan 2007, 11:22

Imod a écrit:Ce n'est qu'un premier jet sans vérification

J'ai pas tout suivi. Il faudra que je regarde de plus près mais pas avant ce soir.
Moi j'ai pris un terme

plus grand que tous les précédents (existence évidente à cause de la limite 1). Puis j'ai calculé :

.
et on voit alors que

est plus grand que tous les termes précédents.

par **Imod** » 28 Jan 2007, 13:49

Après vérification , ma démonstration ne marche pas , quel que soit la valeur de

, on peut choisir

tel que

soit inférieur à

.

Par contre la démonstration de yos marche très bien à condition de prendre

au moins égal à 2 . Il serait d'ailleurs intéressant de voir de quelle façon cette valeur de

dépend des conditions initiales .

Imod

par **fahr451** » 28 Jan 2007, 13:59

ce qui est possible puisque u(1)<1 ne majore pas u donc il existe un rang, donc un plus petit rang n>=2 avec u(n)>u(1) et donc u(n) supérieur à tous les précédents.

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