Défi ++

[mathelot]

bonjour,

le forum est calme. je vous pose un défi, je ne sais si cela vous intéressera.

Soit la suite réelle définie par une valeur initiale et la relation
de récurrence:




Saurez vous caractériser les valeurs initiales pour lesquelles la suite reste bornée ?

[fahr451]

une remarque rapide elle ne peut être bornée à valeurs ds R+*ni ds R-*
car sinon elle serait monotone donc convergerait vers un pt fixe de f qui n'existe pas

si elle est bornée c'est à valeurs dans [a,b] a<0,b>0 et les problèmes commencent

[tize]

une remarque rapide elle ne peut être bornée à valeurs ds R+*ni ds R-*
car sinon elle serait monotone donc convergerait vers un pt fixe de f qui n'existe pas

si elle est bornée c'est à valeurs dans [a,b] a0 et les problèmes commencent

oui, je pencherai pour ]-1;1[...

[mathelot]

attention, ç'est sans doute beaucoup plus difficile...

[fahr451]

et pourquoi pas du +- 1/rac(2) points fixes de f°f ?

j'avoue que sans outil calculatoire j'ai du mal à voir .
pour u0 l 'un des deux pts fixes de f°f bornée
et sinon la suite est non bornée non ?

[mathelot]

bonsoir fahr,
je crois que tu glaces mais publie toujours...l'interprétation géométrique de cette
suite est la suivante:
on considère la parabole d'équation . Au point d'abscisse
, on construit la tangente à la courbe qui recoupe l'axe x'ox
en un point d'abscisse . Une méthode de Newton totalement erratique en quelque sorte...

[fahr451]

lol c est tjrs agréable:)

[fahr451]

arg y a 1/2 devant c'est moins cool car les pts fixes de f°f étaient répulsifs sinon

tout ce que j 'ai écrit avant est sans objet

[mathelot]

oui, les points fixes de f°f sont répulsifs.

[Imod]

Je vois qu'il y en a qui trichent et qui proposent des "pseudo-défis" , il est vrai que celui de Darkmaster est vraiment lourd et que sans indice , on risque de sécher un moment .

Je regarderais quand même ce défi++ :we:

Imod

[nuage]

Salut,
Il y a les cas où la suite est finie par exemple avec ou avec , mais je ne sais pas si c'est vraiment le sens de la question.

Je vais essayer de voir des cas plus généraux.
A+ et bonne année 2007 à tous.

[mathelot]

indication: poser

[Yipee]

Je crois que j'ai trouvé. On pose donc et on vérifie alors que les suites (a) et (b) vérifient : et . On pose donc et on a

Il reste à voir que l'argument de est et que . Pour que la suite soit bornée il faut que la suite ne soit pas dense modulo . Il doit falloir (je n'ai pas vérifié avec ) que

[Imod]

Joli Yipee !!!

Il faut quand même enlever les solutions qui annulent an ou bn .

Imod

[mathelot]

Bravo Yipiee, je suis arrivé à une jolie conclusion en suivant ce raisonnement.
Maintenant, il suffit de faire le lien entre la propriété pour la suite de rester bornée et un développement dyadique d'une quantité liée à la valeur initiale
modulo 1. Bref, vous brûlez !!! En tout cas, le nombre fait une curieuse apparition dans ce problème.

[Imod]

Une autre approche ( très légèrement différente ) . On pose et alors et . Pour que ne soit pas bornée il faut et il suffit que 0 soit une valeur d'adhérence de . Cette condition se traduit sur l'écriture binaire de par : pour tout entier n il existe dans l'écriture de une suite d'au moins n 0 successifs . Les correspondant à bornée sont donc ceux dont l'écriture binaire ( nécessairement infinie ) admet un nombre limité de 0 successifs . Je ne sais pas s'il existe une façon plus propre de définir ces nombres .

Imod

[Yipee]

Je ne comprends pas bien tes notations en particulier pour Cela ressemble cependant à ce que j'avais fait. Mais il me semble que dans ma méthode, il fallait que le nombre de zéros consécutifs ou le nombre de un consécutifs soient bornés.

[Imod]

Yipee .

J'ai bien lu ton message , je te répondrais dès que je trouverais un moment , à priori je ne comprends pas la suite des uns .

A bientôt , Imod

[allomomo]

Salut,


peut être dans l'intervalle [1, 2],

C'est la suite de Héron ?

[Imod]

Je crois qu’en fin de compte , c’est toi qui a raison Yipee :++: Je détaille mes calculs comme j’aurais dû le faire tout de suite . On pose , ( est définie modulo ) . Comme , . Posons alors , et . est bornée si et seulement si n’admet pas comme valeur d’adhérence . Considérons la décomposition base 2 de alors : si et si . n’admet pas comme valeur d’adhérence si et seulement si le nombre de 0 et de 1 successifs dans l’écriture de est borné sinon on peut approcher aussi près que l’on veut par ou par .

Imod