Défi 16

par **yos** » 06 Jan 2007, 17:39

Soit

une permutation de

. On définit

par

(où

est l'écriture décimale d'un élément de [0,1] ; pour les décimaux, on choisit l'une des deux écritures).
Démontrer que f est intégrable au sens de Riemann et calculer

.

par **tize** » 06 Jan 2007, 17:51

J'ai envie de dire qu'en réarrangeant un peu (enfin ...beaucoup) f est un peu comme l'identité et donc que

... mais bon c'est pas une preuve...
Très intéressant, merci Yos, je vais me pencher sur le problème (peut être pas ce soir...)

par **Imod** » 06 Jan 2007, 19:42

Bonsoir à tous les deux et aux autres .

Je vais regarder ça ce soir , juste un point de détail : f n'est pas définie en 0 et ne prend jamais la valeur 0 , il faudrait plutôt définir f:]0;1]->]0;1] ce qui n'enlève rien à l'intérêt de l'exercice . J'ajouterai à ce qu'a dit tize que "f" n'est peut-être pas l'identité mais qu'elle n'est pas loin d'être continue .

Imod

par **yos** » 06 Jan 2007, 21:21

Ben si car 0=0,0000... et si tu permutes les 0, ça change rien donc f(0)=0, de même que f(1)=1.

par **Yipee** » 06 Jan 2007, 21:43

Si on se donne un entier n quelconque fixé. On note r le maximum de

On se donne alors les

intervalles de longueurs

définis en fixant les r premières décimales d'un nombre. On le note

. Alors

est inclus dans un intervalle de longueur

. On en déduit que la fonction est intégrable.

par **tize** » 06 Jan 2007, 21:52

Bonsoir Yipee, peux-tu m'expliquer, j'ai pas bien compris...

Yipee a écrit:...définis en fixant les r premières décimales d'un nombre.

On le note

qui ?

par **Yipee** » 06 Jan 2007, 22:40

En gros, si p est un entier, on note

les

intervalles de longueur

obtenus en fixant les

premières décimales (et donc i varie entre 1 et

)
Par exemple pour p=3 on a :

ce sont les nombres dont les trois premières décimales sont nulles.

: ce sont les nombres dont les trois premières décimales sont 0,0 et 1 et ainsi de suite...

par **tize** » 06 Jan 2007, 23:03

a, ok, je crois que je commence à comprendre pourquoi

est inclus dans un intervalle de longueur

...merci Yipee :we:

par **mathelot** » 06 Jan 2007, 23:09

f est donc mesurable comme limite de fonctions mesurables.
La convergence étant croissante sur un compact et dominée, elle est uniforme, on peut écrire:

par **tize** » 06 Jan 2007, 23:21

Bravo Mathelot :++:

par **mathelot** » 07 Jan 2007, 00:03

euh, j'ai un peu triché car j'y suis allé au flair. je précise quelques points de la démo:
concernant l'intégrabilité au sens de Riemann de f, f est limite croissante de fonctions uniformément bornées, positives, sur un compact. ça doit suffire pour entrainer la convergence uniforme. Et une limite uniforme de fonctions riemann intégrables sur un compact est r-intégrable.
Pour k entier fixé, mq que:

l'intégrande est de période

d'où:

par **yos** » 07 Jan 2007, 00:09

Pour l'intégrabilité au sens de Riemann (n'est-ce pas mathelot?) j'ai fait presque exactement ce qu'a fait Yipee. En tronquant f(x) aux p premières décimales, on obtient une fonction

qui est en escalier et dont f est limite uniforme. On calcule l'intégrale de

et on en déduit celle de f. Ca doit revenir à ce qu'a fait mathelot (je le lirai demain à tête reposée). Bravo à mathelot et à Yipee en tout cas. Ca n'a pas trainé.

par **yos** » 07 Jan 2007, 10:24

mathelot a écrit:

Tu pourrais expliquer ce passage? Merci.

par **aviateurpilot** » 07 Jan 2007, 11:57

je viens de lire l'intégrabilité au sens de Riemann l'integrale wikipedia
mtn je peux parler dans ce sujet, lol

1erment, je pense que tu voulais dire,

est une permutation de

sinon, qu'il est l'image de 0,123?

ou

?

pour le cas de (

est une permutation de

)
il est clair que

sera tjrs entre

fonctions (

) tel que (

)en escalier qu'on peux les trouer (meme idée que Yos et Yipee) en utilisant des intervalle de la forme

et on prend

et

c-a-dire pour

,

et on aura facilement l'integrale des 2 fonctions tend vers 1/2

par **yos** » 07 Jan 2007, 12:11

aviateurpilot a écrit:je viens de lire l'intégrabilité au sens de Riemann l'integrale wikipedia
mtn je peux parler dans ce sujet, lol

1erment, je pense que tu voulais dire, est une permutation de
sinon, qu'il est l'image de 0,123?
ou
ou
?

pour le cas de ( est une permutation de )
il est clair que sera tjrs entre fonctions () tel que ()en escalier qu'on peux les trouer (meme idée que Yos et Yipee) en utilisant des intervalle de la forme
et on prend
et
c-a-dire pour ,
et on aura facilement l'integrale des 2 fonctions tend vers 1/2

Un conseil : relis plus lentement. On permute les décimales selon leur rang et pas selon leur valeur.

par **mathelot** » 07 Jan 2007, 12:22

mathelot a écrit:

bonjour Yos, je précise le point demandé:
le développement décimal de x est:

à ce titre, ses décimales

sont obtenues par:

étant une bijection , je remplace

par

or:

en remplaçant:

par **yos** » 07 Jan 2007, 12:44

Merci bien. Je relirai le reste, mais tu as bien mérité ton défi.

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