Défi 15

[tize]

Bon ...j'ai pas grand chose à proposer...rien de palpitant...un petit truc classique et facile qui sera fait assez vite :

Montrer que le groupe des quaternions n'est pas un produitsemi direct de groupes .

[aviateurpilot]

Bon ...j'ai pas grand chose à proposer...rien de palpitant...un petit truc classique et facile qui sera fait assez vite :

Montrer que le groupe des quaternions n'est pas un produit semi direct de groupes .

encore une fois,

des quaterninons
un produit semi direct
le groupe

vous ne pouver pa posté des question difficil est en meme temps tout le monde peux comprendre la question,

[tize]

Pardon, désolé Aviateur Pilot, en voici un pour toi (pas trop dur aussi...)
Pour toute partie non vide , on pose :
. Calculer la moyenne

des sur toutes les parties non vides de .

[bauzau]

je dirais a vu de nez que cette moyenne est environ de (1/2)*n

ca s'en rapproche?

[bauzau]

pour le defi, j'aimerais savoir quelle est la loi de groupe qui intervient?

[tize]

je dirais a vu de nez que cette moyenne est environ de (1/2)*n

ca s'en rapproche?

ça tendrait donc vers 0 ? non...

[tize]

pour le defi, j'aimerais savoir quelle est la loi de groupe qui intervient?

Ba c'est le groupe des quaternions (donc un produit) : lien

[yos]

Par l'absurde. Si , l'un des sous-groupes N,H est d'ordre 2, l'autre d'ordre 4. Mais il n'y a que {1,-1} d'ordre 2 et les seuls d'ordre 4 sont les cycliques {1,i,-1,-i} ,.... Vus les automorphismes de , on peut considérer que c'est {1,i,-1,-i} qui intervient. Les automorphismes de Z/4Z sont l'identité et le produit par -1 (car Aut(Z/nZ)=(Z/nZ)*) .
On regarde le produit semi-direct via l'un de ces deux automorphismes de N.
NXH={(1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1), (i,1), (i,-1), (-i,1), (-i,-1)}
Avec le premier automorphisme (produit direct), on obtient trop d'éléments d'ordre 2 par rapport à .
Avec le second automorphisme, c'est pareil.
Quant au produit HXN, il ne peut être que direct et on retombe sur le même problème.
Veux-tu des détails?

[tize]

Non ça ira très bien comme ça... :we:
sinon on peut faire comme ça :

Si c'était possible, il faudrait alors que le produit des ordres de N et H soit égal
à 8 d'où l'on déduit que N ou H est d'ordre 2 i.e. est le centre de . Par ailleurs dans un produit semi direct , l'intersection de N avec H doit être trivial mais tous les sous groupes de contiennent son centre (à vérifier...) c'est donc impossible.

Je te passe le relais Yos avec un défi 16 :we:
En attendant si AviateurPilot veut faire le défi que j'ai poster en remplacement...

[yos]

Ah oui j'ai même pas pensé à non trivial.
Je mets le défi 16 dans un autre fil.
Merci.

[aviateurpilot]

Pardon, désolé Aviateur Pilot, en voici un pour toi (pas trop dur aussi...)
Pour toute partie non vide , on pose :
. Calculer la moyenne

des sur toutes les parties non vides de .

merci tize :happy2: je viens de voire ton probleme
la moyenne

le nombre de S tel que est
le nombre de S tel que est
donc
donc la moyenne est

[tize]

Bonsoir,
attention ,c'est pour toute partie non vide il y en a donc

[aviateurpilot]

donc la moyenne est (n+1) :lol4:

[alben]

Bonjour,

Il y a un os dans tes calculs, la différence entre le max et le min est au plus de n-1, la moyenne ne peut pas dépasser n-1

[yos]

J'obtiens et j'ai pas très envie de le calculer.

[tize]

...

Quand tu regroupes les deux dernières sommes on doit avoir dans la parenthèse : , tu as ajouté au lieu de soustraire...

[Imod]

Si je ne me suis pas trompé dans les calculs ( un peu laborieux ) , la moyenne est : bizarrement équivalente à n-3 quand n devient grand ?

Imod

[tize]

Si je ne me suis pas trompé dans les calculs ( un peu laborieux ) , la moyenne est : bizarrement équivalente à n-3 quand n devient grand ?
Imod

Bravo Imod, c'est bien ça ! :++:

[sandrine_guillerme]

JOYEUX ANNIVERSAIRE JOSE

[tize]

Merci beaucoup Sandrine ! C'est très sympa :we: :we: :we: