Défi 12

[Imod]

Montrer que tout nombre réel peut s'écrire comme une somme d'au plus neuf nombres dont l'écriture décimale ne comporte que des 0 et des 7 .

Bon courage !

Imod

[BancH]

Car 7n peut être congru à 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ou 9 modulo 10? (comme 1n)

[Imod]

Grosso modo c'est ça , pourrais-tu détailler un peu plus ? :we:

Imod

[BancH]

J'ai fait à l'instinct.
Je me suis juste dit que avec des 0 et des 1 c'est possible, après j'ai cherché le point commun entre 1 et 7, c'est pourquoi j'ai écris "(comme 1n)".
Mais je vais essayer de développer.

[BancH]

Je vois pas trop comment expliquer, mais je fais de mon mieux.

Supposons qu'un nombre ait chiffres après la virgule, le -ième chiffre est , alors il est possible de créer un nombre ayant le même -ième chiffre (et un -ième chiffre), en additionnant fois , avec dépendant de et ainsi de la congruence de .

Notons le -ième chiffre ainsi créé, et le -ième chiffre après la virgule du nombre donné.
Pour avoir , il faut addtionner fois le nombre , dépendant de et de .

....

Ainsi tout réel est de la forme avec ,

[Imod]

Essaie plutôt de regarder la décomposition base 10 de x/7 ou x est le réel dont on cherche la décomposition .

Imod

[aviateurpilot]

soit
on peux ecrire sous la forme avec ;
soit ,et
on pose tel que si est vide
et on remarque que l'écriture décimale de ne comporte que des 0 et des 1.
et on a

conclusion:
tout nombre réel peut s'écrire comme une somme d'au plus neuf nombres dont l'écriture décimale ne comporte que des 0 et des 1

generalisation:_________________________

soit et soit
peut s'écrire comme une somme d'au plus neuf nombres dont l'écriture décimale ne comporte que des 0 et des 1
donc peut s'écrire comme une somme d'au plus neuf nombres dont l'écriture décimale ne comporte que des et des .

[Joker62]

Vous êtes des dingues lol :D

[Imod]

Même si les ont été un peu oubliés au passage , on peut considérer qu'aviateurpilot a répondu correctement , dommage pour BancH ( à charge de revanche ) , je lui passe donc le relai .

Imod

[BancH]

Arf, moi j'ai toujours du mal à comprendre ce que tu fais Aviateurpilot...

[aviateurpilot]

Arf, moi j'ai toujours du mal à comprendre ce que tu fais Aviateurpilot...

dsl Banch,
peux etre que tu peux comprendre ce que j'ai fait par ce exemple
si x=13.14217

[BancH]

Ouais ça c'est bon mais peux-tu traduire ça en Français?

[Imod]

L'idée est en effet de donner l'écriture décimale de x/7 ( ou x/k avec k < 10 , si on veut généraliser ) comme une somme de nombres dont l'écriture décimale ne comporte que des zéro et des uns puis de remarquer que cette écriture peut très bien se réduire en une somme de neuf nombres . En multipliant par 7 on a la réponse .

Imod

[BancH]

Nan ça va j'ai pigé, c'était parce que je pensais que nombre devait être un réel avec une écriture décimale finie.

[Flodelarab]

Je comprends avec les 0 et les 1 mais je comprends pas ou arrive le 7.

x/7 ne pourrait il pas etre infini ? auquel cas le nombre ne peut pas s'écrire comme on veut?

[BancH]

Ouais c'est ça qui bloque.

Est-ce qu'on peut dire que 1.111...111=2x0.555...555 ?

[Imod]

Si x/7 peut s'écrire comme une somme de neuf nombres dont l'écriture décimale ne comporte que des zéro et des un , 7x doit pouvoir s'écrire comme une somme de neuf nombres dont l'écriture décimale ne comporte que des zéro et des sept ? Non ?

Imod

[BancH]

Oui mais avec les formes décimales infinies c'est galère.

[Flodelarab]

Ben 1 par exemple.
Comment ecris tu 1 avec ta somme de 9 nombres avec des 0 et des 7 ?

[aviateurpilot]

Ouais c'est ça qui bloque.

Est-ce qu'on peut dire que 1.111...111=2x0.555...555 ?

oui, 1.111111....111/2=(1/2)+(0.1/2)+(0.01/2)+...+(0.000..001/2)+......=0.55555555.......555.


pour le que j'ai construit c'est le tel que
c'est comme si j'ai remplacé ces par des dans le
pour par exemple
on a
pour {1,0,-1,-3} et
159.745
011,101
c'est comme si j'ai remplacé par des dans le