Défi 6

[yos]

Allons-y pour un autre défi (un facile, c'est encore Noel).

Soit x un réel.
Comparer les deux nombres :
et .

Une prime à la preuve la plus courte.

[fahr451]

un des deux est plus grand que l'autre (au sens large) :)

[yos]

C'est pas faux. Lequel? Pour quels x? Preuve?
Il faut une preuve courte mais pas à n'importe quel prix.

[fahr451]

et tu dis que c'est noël??

[yos]

Comme pour tout x réel sin(x) € [-1;1]

alors arcos(cos(sin(x)) = sin x

Je vois pas le rapport. Il faudrait sin x dans [0,pi] non?

[fahr451]

ben suis pas sûr du détail (pis c'est pas court) la différence est une fonction paire 2pi périodique on la regarde sur 0,pi sur pi/2, pi le signe est clairement +
sur 0 pi/2 on factorise cosa -sinb = 2 cos([a+b+pi/2]/2)cos(b/2+pi/4-a/2)
et on a à étudier le signe sinx +cosx -pi/2 toujours moins donc la différence est tjrs positive (ah si j'avais un truc pour tracer)

[darkmaster]

Moi, je déteste l'étude de fonction.
Posé u=cos(x) , v=sin(x)

=>
D'où le résultat.

[fahr451]

moi je vote pour darkmaster c'est plus joli( plus court?pas sûr)
dommage j'avais un joli pb (très simple à énoncer) dont en plus je n'ai plus la solution.

[yos]

cosa -sinb = 2 cos([a+b+pi/2]/2)cos(b/2+pi/4-a/2)
et on a à étudier le signe sinx +cosx -pi/2 toujours moins donc la différence est tjrs positive (ah si j'avais un truc pour tracer)

Il faut plutôt localiser (sinx+cosx+pi/2)/2 et (-sinx+cosx+pi/2)/2 pour avoir le signe de la différence. Mais je suppose que tu as fait un raccourci que je vois pas. Je ne doute pas que ça marche.

J'avais fait ça :
car :
1) c'est vrai pour x=0,
2) l'égalité est jamais vraie. En effet elle équivaut à donc à qui est facile à contredire même sans étudier de fonctions.

[fahr451]

oui j'ai pas tout mis:
le deuxième cos est positif car a et b sont ds [0,1] inclus ds [0, pi/2]donc
pi/4 -a/2+b/2 est ds [-pi/2,pi/2]
reste à avoir le signe du premier cos
savoir si pi/4 +a/2+b/2 > pi/ 2
donc connaitre le signe de cosx +sin x -pi/2

la solution de yos est ultra rapide; le point va à yos?:)

[yos]

Point à Rain' pour sa rapidité. A toi Rain' de nous proposer un défi.

[fahr451]

on est en panne de défi ...

[BQss]

on est en panne de défi ...

Montrer que l'ensemble des solutions de ay''+by'+cy=0 (avec a b et c appartiennent a R) est l'ensemble des elements qui s'ecrivent sous la forme C1e(ux)+C2e(vx) avec C1 et C2 appartient a R sans avoir à supposer a aucun moment que l'ensemble des solutions constitue un R-espace vectoriel de dimension 2

[fahr451]

ben c'est la méthode de l abaissement de l ordre
u,v les sol de l équation caractéristique
on cherche toutes les sol sous la forme y(x) = c(x) exp(ux) licite car il suffit de définir C(x) comme le quotient l 'exp ne s annulant pas
on tombe sur une équ diff linéaire en c(x) du premier ordre et si on feint encore de ne rien savoir on refait la méthode d el abaissement de lordre pour finalement arriver à l équa diff z' = 0 et celle ci on on pense savoir la résoudre.

[BQss]

ben c'est la méthode de l abaissement de l ordre
u,v les sol de l équation caractéristique
on cherche toutes les sol sous la forme y(x) = c(x) exp(ux) licite car il suffit de définir C(x) comme le quotient l 'exp ne s annulant pas
on tombe sur une équ diff linéaire en c(x) du premier ordre et si on feint encore de ne rien savoir on refait la méthode d el abaissement de lordre pour finalement arriver à l équa diff z' = 0 et celle ci on on pense savoir la résoudre.

Tout a fait.
Si j'ai proposé ca, c'est que sur ce site je me suis fortement accroché avec un gars (je sais pas comment il a eu l'agreg , je deconne), qui pretendait qu'on ne pouvait se servir de cette expression pour prouver que l'ensemble des sols de l'equa diff ci dessus constituait un R-espace vectoriel sous pretexte qu'on etait obligé d'utiliser a un moment donné le fait que les sols formaient une espace vectoriel et que donc on se mordait la queue en faisant cela puisque d'apres lui on utilisait un resultat qui decoulait directement de cela. Alors que pas du tout car la reciproque qui s'attache a montrer que l'ensemble des sols s'ecrit sous la forme C1e(ax) +C2e(bx), (c'est a dire celle qui tente de prouver l'inclusion: l'ensemble des sols est inclus dans l'ensembles des combinaisons lineaires) est en fait bien plus qu'une reciproque et se suffit a elle meme car elle montre cela pour n'importe quel C1 et C2, ceci provenant de deux equa diffs successive elles meme lineaire du premier ordre . C1 et C2 etant n'importe quel réel, l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2 de base e(ax) et e(bx).

On pouvait donc tres bien dire que les solutions de ces equations differentiels formaient un EV car etant sous la forme C1(ax)+C2e(b)(en reprenant les conclusions de cette demo connu juste avant de conclure) sans etre redondant ni meme utiliser le fait que d'apres lui c'est justement parcequ'on savait que c'etait un espace vectoriel qu'on pouvait l'ecrire comme cela, ce qui est inexacte, on en a pas besoin, car la reciproque de cette demo ne prouve pas seuleument l'inclusion inverse mais l'egalité en meme temps, vois tu la nuance.

[MikO]

ya un defi 7 xD