Défi 5

par **darkmaster** » 25 Déc 2006, 19:12

Soit

un polynôme de degré

tels que

.
Démontrer que

pour tous

(remarque:

est la k-ème dérivée de

)

par **fahr451** » 25 Déc 2006, 20:20

ça semble délicat pour X^2

par **fahr451** » 25 Déc 2006, 20:37

on pose y = f +f'+...+f^(n)
on a y -y' = f puis résolution avec variation de la constante
reste à étudier le signe de y(0) + intégrale(0,x) -f(t)exp(-t)dt =u(x),
udécroit et a donc une limite en + inf si cette limite n'était pas nulle
comme y(x) = exp(x) u(x) au voisinage de l'infini, exp serait soit équivalente au polynôme y [ à une constante près] soit un petit 0: absurde; la limite est nulle et u positive et y aussi.

par **darkmaster** » 25 Déc 2006, 21:41

fahr451 a écrit: u décroit et a donc une limite en + inf

pourquoi u a une limite? elle est minorée?

par **fahr451** » 25 Déc 2006, 21:41

tss tss
limite éventuellement égale à -inf ce qui donnerait le cas exp x = petit o du polynôme

par **fahr451** » 25 Déc 2006, 21:45

d'ailleurs c'est inutile de présenter comme ça il suffit de dire
u(x) = y(x)exp(-x) tend vers 0 en + inf et comme u décroit u est positive sur R

par **darkmaster** » 25 Déc 2006, 22:06

fahr451 a écrit:d'ailleurs c'est inutile de présenter comme ça il suffit de dire
u(x) = y(x)exp(-x) tend vers 0 en + inf et comme u décroit u est positive sur R

Uhm oui, tu as raison, Bravo :king2: . C'est ton tour de nous donner un bon problème pour résoudre.
Je veux ajouter une autre méthode: on a

. On sais que f est toujours positive, f est donc un polynôme de degré pair et le premier coefficient est positif.

premier coefficient de y = premier coefficient de f et [TEX]deg(y)=deg(f)"/>
On a deg(y) pair , premier coefficient de y >0 , donc y possède une valeur minimum

On a bien que

. Donc,

. Par suite,

par **fahr451** » 25 Déc 2006, 22:10

merci

je n'ai pas trop d'idée; on essaye ça:

Trouver un groupe non monogène dont tout sous groupe propre est cyclique;
le groupe n'étant pas engendré par un nombre fini d éléments

par **yos** » 25 Déc 2006, 22:24

par **fahr451** » 25 Déc 2006, 22:36

ca marche ? je sais pas. les sous groupes sont cycliques?

par **fahr451** » 25 Déc 2006, 22:40

je sais pasje n'y ai jamais réfléchi; prouve le si ça marche.

par **fahr451** » 25 Déc 2006, 22:43

soit H un sous groupe propre de Q/Z et x tel que lxl minimal non nul avec
classe(x) ds H alors H = ?

par **yos** » 25 Déc 2006, 22:49

-Les éléments sont tous d'ordre fini : p/q est d'ordre au plus q.
-Si n est un entier >0, et G un sous-groupe d'ordre n, alors pour tout x de G on a nx qui est un entier k, donc x=k/n, donc G={0,1/n,...,(n-1)/n}(cyclique).
- Q/Z est pas monogène (ça se saurait).
-Reste à voir s'il a des sous-groupes infinis pas cycliques. Je vais y réfléchir, mais je suis confiant.

par **yos** » 25 Déc 2006, 22:52

Sinon tu songeais peut-être à

(entiers p-adiques)?

par **fahr451** » 25 Déc 2006, 22:56

sous groupe propre infini suffira puisque j'ai demandé cyclique (pas monogène)
non je songeais à un autre exemple.

par **yos** » 25 Déc 2006, 23:03

Je ne te suis plus. Tu distingues cyclique de monogène. C'est loin d'être général dans la littérature mais je veux bien. Cyclique signifie donc monogène +fini. Du coup, il faut que ton groupe n'ait pas de sous-groupe propre infini??

par **fahr451** » 25 Déc 2006, 23:05

oui oui pas de sous groupe propre infini ;tout sous groupe propre est monogène fini; pour moi cyclique a toujours impliqué fini mais bon du moment qu 'on se comprend

par **yos** » 25 Déc 2006, 23:12

En ce cas

ne marche pas mais Q/Z devrait être OK (j'espère). Je vais aller méditer cela dans mes draps. Bonne nuit.

par **fahr451** » 25 Déc 2006, 23:13

bonne nuit ( rem y a du p premier malgré tout ds mon exemple)

par **yos** » 26 Déc 2006, 08:30

Le groupe des racines de l'unités d'ordre une puissance d'un premier p.

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