Défi 5

[fahr451]

ce groupe est lui même cyclique hélas
le groupe ne doit pas etre cyclique mais tout sous groupe strict l 'est

[yos]

Je prends toutes les puissances de p.
Par exemples le groupe formé des racines carrées, quatrièmes, huitièmes, ... ème , etc.
C'est un groupe infini dont tous les sous-groupes propres sont cycliques finis.

[namfoodle sheppen]

je ne pense pas que tous les sous-groupes de Q/Z soient infinis . Si tu considère p premier et l'ensemble (Q/Z)\{a€Q/Z, a=q/m avec m multiple de p, q€Z*}, tu trouve un sous-groupe à nouveau, qui est infini.

[fahr451]

absolument yos c'était mon exemple (une tite preuve ?)

[yos]

Tu prends les racines d'ordre . Ca te donne pas un sous-groupe infini?

Pour Namfoodle : j'ai vu que Q/Z ne marchait pas. En fait il est isomorphe au groupe U de toutes les racines de l'unité (dans ). Et c'est pourquoi, j'ai songé au sous-groupe infini formé des racines d'ordre une puissance de p. Mais comme je le dis ci-dessus, je suis pas sûr que ce soit bon.

[fahr451]

yos je ne suis plus sûr d'avoir bien lu . Pour le groupe G tu prends toutes les puissances de p où seulement les puissances de la forme 2^n ?
c'est pareil en fait c'est le même groupe.

[yos]

Oui c'est bon. j'ai compris. Le groupe G est la réunion croissante des . J'ai dit une bétise au début du précédent message. Ce groupe est bien isomorphe à un sous-groupe infini de Q/Z, ce qui fait que Q/Z ne convenait pas.

[fahr451]

c'est bon là yos (un point plein et entier) peux tu donner une tite preuve que tous les sous groupes stricts sont bien cycliques?

[yos]

Soit H un sous-groupe de G.

Si H est fini, il est cyclique (évident, voire même avec le fait que c'est vrai dans le surgroupe Q/Z).

Si H est infini, il contient des racines de l'unité d'ordre avec n arbitrairement grand. Sinon H serait inclus dans un sous-groupe (fini) de G.
Et donc H=G.

[fahr451]

vi en plus y a du latex alors que demander de plus? :) à toi