Défi 10

[darkmaster]

Bonjour ,
Voici un petit problème intéressant:
Soit l'ensemble des fonctions tels que Trouver le réel le plus grand tels que
Bonne chance!

[darkmaster]

Déjà comme f est à valeurs positives on a A>=0

Soit E € ]0,1[.

Soit f : R+ => R+
f(x) = E*x

Montrons que pour tout E € ]0,1[, f € F.

En effet f(3x) = 3E*x

f(f(2x)+x) = E [f(2x) + x] = E[2E*x + x] = x (2E²+E)



Or pour tout x de R+, et pour tout E € ]0,1[ 3Ex>=x(2E²+E).

donc pour tout E € ]0,1[ , f(x) = E*x € F

On suppose qu'il existe A > 0 tel que pour tout f de F et tout x de R+, f(x) >=Ax.

Or on peut trouver E € ]0,1[ tel que E<A.
Et f(x) = Ex € F et < Ax. Contradiction donc A=0.

J'ai pas encore vu la solution. Mais le résultat est pas bon. A n'est pas égal à 0.

[Imod]

Il y a quelque chose que je ne comprends pas dans la démonstration de Rain' . Si F n'est pas vide alors :
.
Donc convient , est-ce le plus grand ?

Imod

[darkmaster]

f(f(2x)+x) = E [f(2x) + x] = E[2E*x + x] = x (2E²+E)

C'est pas ça. C'est f(f(2x))+x

[Imod]

En effet Rain' , ce qui diminue sérieusement l'intervalle d'étude .

Imod

[darkmaster]

Et oui, c'est tout à fait correct. Ce problème est beau mais aussi facile. Point à Rain'.

[Imod]

Pas difficile mais joli !!!

Imod

[BQss]

Or on vérifie facilement que f(x) = 0.5x € F. Donc A<ou= 1/2.

Finalement ça donne A=1/2 avec le message précédent.

Ta demo est parfaite sauf pour une chose. Tu as démontré ton resultat en suposant que A existait. Mais tu n'as pas montré qu'il existait tu sais que si A existe il appartient a [1/2;1], puis tu as prouvé qu'alors necessairement cela ne pouvait etre que 1/2 car 1/2x appartenait a l'ensemble. Mais qui nous dit qu'il y a bien un plus grand element A tel que ca marche.exemple:
soit la suite un=2l+1 u0=1 (qui ne converge pas evidemment)
Trouver la limite fini de un.
Soit l la sa limite fini, alors necessairement:
l=2l+1
donc l=-1 est la limite de cette suite, ce qui est biensur faux.


Si je ne m'abuse, ce que tu as montré c'est que "si A existe alors il vaut 1/2" pas qu'il vallait 1/2.

Deja si l'ensemble des elements A qui verifie la propriété est un ouvert, ca ne marche pas, le max n'existe alors pas et le sup( qui existe puisqu'on sait que 1.2x appartient a l'ensemble et que donc 1/2 est un majorant ) n'appartient pas a l'ensemble et donc ne verifie pas la propriété.
Donc il faut montrer que l'ensemble des elements qui verifie la condition est un semi fermé(c'est a dire que son sup=max). A ce moment la tu peux supposer son existence et ton resultat marche.

qu'en penses tu?