Un défi

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour,

On considère une infinité de points du plan à distances entières les uns des autres. Montrer que ces points sont alignés.

[Dlzlogic]

Bonjour,

On considère une infinité de points du plan à distances entières les uns des autres. Montrer que ces points sont alignés.

Est-ce que "distance entière" veut dire que toute distance est égale à n'importe quelle autre, à un multiple entier près et que toute distance est égale à n'importe quelle autre à l'ajout d'un entier près?

[acoustica]

Est-ce que "distance entière" veut dire que toute distance est égale à n'importe quelle autre, à un multiple entier près et que toute distance est égale à n'importe quelle autre à l'ajout d'un entier près?

A l'ajout d'un entier près, on regarde comment ça se passe pour des points alignés et on a la réponse...

[acoustica]

Bonjour,

On considère une infinité de points du plan à distances entières les uns des autres. Montrer que ces points sont alignés.

On raisonne avec des points tous distincts.

Supposons qu'ils ne soient pas tous alignés. Alors ces points séparent le plan en plusieurs domaines dont sept au moins sont d'aire non nulle. L'un des domaines (dont les fractions de droites séparantes sont arbitrairement choisies dans un ou l'autre des domaines qu'elles séparent) contient une infinité de points. Si l'ensemble des domaines bornés est inclus dans l'ensemble des domaines qui contiennent une infinité de points, les points ne peuvent pas tous être à distance entière. On doit donc avoir un domaine non borné contenant une infinité de points, donc contenus dans un demi-cône délimité par deux droites d'un triangle T d'aire non nulle. Tous ces points sont placés sur un quadrillage hexagonal de centre l'extremité du cône.
Su un hexagone ABCDEFG de centre O, on a AB, BC, CD, DE, EF, FG, GA, AO, BO, CO, DO, EO, FO et GO entiers, et toutes les autres distances irrationnelles.
Cette infinité de points du demi-cône doivent donc tous être placés selon 6 directions différentes en partant de l'extrémité du cône. Cela nous laisse en fait que trois directions différentes puisque quatre directions correspondraient à un plan, ce qui est par hypothèse exclu.
Cette infinité de points du demi-cônes est donc placé selon trois demi-droites. Les côtés de T doivent être dans cette continuité, donc les points du cônes ne sont en fait placés que sur deux demi-droites maximum. On suppose qu'il y a deux demi-droites, cad au moins un point sur chacune. Ces demi-droites forment un angle de 60° ou de 120°. S'ils forment un angle de 60°, cela signifie qu'un des deux points du triangle T, qu'on appelle P, forme avec l'origine du cône et un point (Q) de la demi-droite qui le délimite, un angle de 120°, qui donnerait PQ irrationnel. Le deuxième cas (angle du cône de 120°) donne par le même raisonnement, cette fois-ci avec deux points des deux demi-droites. Il n'y a donc qu'une seule demi-droite. Absurde.

[SaintAmand]

Est-ce que "distance entière" veut dire que toute distance est égale à n'importe quelle autre, à un multiple entier près et que toute distance est égale à n'importe quelle autre à l'ajout d'un entier près?

Vous pouvez répéter la question, s'il vous plait ?

Il veut dire que si est une ensemble infini de points du plan tel que pour tout couple de points on a , alors les points de sont alignés.

[acoustica]

Bonjour,

On considère une infinité de points du plan à distances entières les uns des autres. Montrer que ces points sont alignés.

On raisonne avec des points tous distincts et on va raisonner dans un quadrillage hexagonal qui inclut les centres des hexagones. Les points considérés sont situés sur des noeuds du quadrillage.

Supposons qu'ils ne soient pas tous alignés. Alors ces points séparent le plan en plusieurs domaines dont sept au moins sont d'aire non nulle (ce nombre n'a aucune importance). L'un des domaines (dont les fractions de droites séparantes sont arbitrairement choisies dans un ou l'autre des domaines qu'elles séparent) contient une infinité de points. Si l'ensemble des domaines bornés est inclus dans l'ensemble des domaines qui contiennent une infinité de points, les points ne peuvent pas tous être à distance entière. On doit donc avoir un domaine non borné contenant une infinité de points, donc contenus dans un demi-cône délimité par deux droites d'un triangle T d'aire non nulle. Tous ces points sont placés sur un quadrillage hexagonal de centre l'extremité du cône.
Su un hexagone ABCDEFG de centre O, on a AB, BC, CD, DE, EF, FG, GA, AO, BO, CO, DO, EO, FO et GO entiers, et toutes les autres distances irrationnelles.
Cette infinité de points du demi-cône doivent donc tous être placés selon 6 directions différentes en partant de l'extrémité du cône. Cela nous laisse en fait que trois directions différentes puisque quatre directions correspondraient à un plan, ce qui est par hypothèse exclu.
Cette infinité de points du demi-cônes est donc placé selon trois demi-droites. Quitte à changer de triangle, si les points sont placés sur trois demi-droites, on peut choisir un autre triangle, tel que le cône prolongeant contient une infinité de points sur chaque demi-droite. En effet si tel n'était pas le cas, la demi-droite du milieu aurait un point extrémal, au-delà duquel on tracerait le côté opposé au sommet du nouveau cône en joignant deux points des demi-droites qui encadrent celle du milieu. Ces deux points existent puisqu'on a supposé leur nombre infini et que tous sont au moins espacés d'une distance de 1. Dans le cas où une seule demi-droite contiendrait une infinité de points, on est directement ramené plus loin dans le texte à l'étude de ce cas. On a à présent les points du cônes placés sur deux demi-droites (maximum ou exactement, en fonction de si on raisonne avec une disjonction de cas ou un raisonnement par l'absurde). On a donc deux demi-droites "non vides", dans le sens où il y a au moins un point sur chacune (et même bien plus puisqu'une infinité). Ces demi-droites forment un angle de 60° ou de 120°. S'ils forment un angle de 60°, cela signifie qu'un des deux points du triangle T, qu'on appelle P, forme avec l'origine du cône et un point (Q) de la demi-droite qui le délimite, un angle de 120°, qui donnerait PQ irrationnel. Le deuxième cas (angle du cône de 120°) donne par le même raisonnement, cette fois-ci avec deux points des deux demi-droites. Il n'y a donc qu'une seule demi-droite, ce qui contredit notre hypothèse. On se retrouve avec un triangle inscriptible dans un hexagone, avec dans la continuité d'un côté, une demi-droite dont l'infinité de points placés dessus sont inscriptibles dans un hexagone. On raisonne toujours avec le cône (dont une demi-droite ne contient aucun des points), et une disjonction de cas selon l'angle au centre fournit aussi des distances irrationnelles si le sommet du triangle n'est pas de 60°, et dans le cas contraire, un angle de 120° formé par un point du triangle P, son sommet O et un point R de la demi-droite. OPR doit être de 60° puisque doit être inscrit dans un quadrillage hexagonal, et donc O et P doivent être confondus.

Finalement, tous les points sont alignés.

[Kikoo <3 Bieber]

Dlzlogic : Tu prends n'importe quel couple de points du plan. Ces deux points sont à distance entière. Pas au multiple près si j'ai compris ce que tu veux dire. Une distance comme 1; 2; 3; ... convient. Je précise que ces points sont deux à deux distincts.

Acoustica : Je vais lire. Je comprends cependant pas comment tu en arrives à conclure en considérant un nombre fini de points. Ou j'ai pas lu assez longtemps

PS : je vous avoue avoir la correction, mais ne pas la comprendre entièrement, donc au besoin je la poste et vous discutez.

[acoustica]

Dlzlogic : Tu prends n'importe quel couple de points du plan. Ces deux points sont à distance entière.

Acoustica : Je vais lire. Je comprends cependant pas comment tu en arrives à conclure en considérant un nombre fini de points. Ou j'ai pas lu assez longtemps

PS : je vous avoue avoir la correction, mais ne pas la comprendre entièrement, donc au besoin je la poste et vous discutez.

Je n'ai pas utilisé un nombre fini de points, mais bien un nombre infini. =) Néanmoins j'ai quelques doutes encore sur certaines hypothèses (je ne suis pas sûr que les points soient forcément inscriptibles dans un quadrillage hexagonal). Bref, je sens qu'il y a des oublis de cas, mais si on peut bien utiliser un quadrillage hexagonal, le reste est affaire de disjonctions de cas et au pire j'ai zappé des cas ou fait des raccourcis, mais on peut s'en sortir comme ça.
J'ai pas de papier sous la main, donc j'ai pas fais de dessins, mais j'espère que l'explication est à peu près claire...

Je pense néanmoins qu'un quadrillage hexagonal convient, dans le sens où à partir de chaque point, on trace les cercles de centre ce points à rayons entiers. Tous les points du problème sont donc situés sur un cercle (correspondant à un rayon) de chaque ensemble de cercles, un ensemble étant défini par le centre des cercles considérés.

[Kikoo <3 Bieber]

D'ac, on verra s'il y a d'autres contributions.

[Dlzlogic]

Dlzlogic : Tu prends n'importe quel couple de points du plan. Ces deux points sont à distance entière.

Bon, alors voilà mon raisonnement.
Soit 2 points {x1,y1} et {x2,y2}
Leur distance d = sqrt((x1-x2)² + (y1-y2)²)
La somme de deux nombres n'est en général pas un carré.
donc il faut que soit x1=x2 ou y1=y2, c'est à dire soit parallèle à l'axe des X soit à l'axe des Y.
Par changement de base, n'importe quelle direction.

[acoustica]

Leur distance d = sqrt((x1-x2)² + (y1-y2)²)
La somme de deux nombres n'est en général pas un carré.

Et les triplets pythagoriciens ? A la trappe ? =)

[Kikoo <3 Bieber]

Exact Acoustica :)

[acoustica]

Exact Acoustica

Qu'est-ce qui est exact ? Ma proposition de démo ou le coup des triplets pythagoriciens ?

[Kikoo <3 Bieber]

Qu'est-ce qui est exact ? Ma proposition de démo ou le coup des triplets pythagoriciens ?

Les triplets Pythagoriciens. Après, la démo, je sais pas encore ^^

[Dlzlogic]

Les triplets Pythagoriciens. Après, la démo, je sais pas encore ^^

Complètement d'accord. C'est pour ça que j'ai dit "en général".
Il suffit qu'il y ait 3 points qui ne soit pas un tel triplet, pour que ma démonstration soit valable. Ce qui est forcément le cas, puisque le point infiniment proche d'un point de ce triplet est dans ce cas.
De toute façon, j'ai rein d'autre à proposer.

[acoustica]

Complètement d'accord. C'est pour ça que j'ai dit "en général".
Il suffit qu'il y ait 3 points qui ne soit pas un tel triplet, pour que ma démonstration soit valable. Ce qui est forcément le cas, puisque le point infiniment proche d'un point de ce triplet est dans ce cas.
De toute façon, j'ai rein d'autre à proposer.

Ah bah oui, si on prend n'importe quels points, on a toutes les chances que ça ne marche pas... On a fait 20 bornes là^^.

[SaintAmand]

On considère une infinité de points du plan à distances entières les uns des autres. Montrer que ces points sont alignés.

Petit souvenir de seconde…

On note E l'ensemble de points.

1. Soit A,B et C trois points de E non alignés.

2. Soit P un point de E distinct de A,B et C. Ce point ne peut appartenir à deux des côtés du triangle ABC. Supposons que P n'appartienne pas aux côtés [AB] et [BC]. Alors, en vertu de l'inégalité triangulaire appliquées aux triangles PAB et PBC, nous avons

|PA-PB|<AB et |PB-PC|<BC.

En d'autres termes P est un point d'intersection d'une hyperpole de foyers A et B, et d'une hyperbole de foyers B et C.

3. Nous venons de montrer que tout point de E distincts de A,B et C appartient à l'intersection de deux hyperboles appartenant à deux des trois familles d'hyperboles suivantes:

a. les hyperboles d'équations |MA-MB|=k, avec k entier tel que 0<= k < AB-1.
b. les hyperboles d'équations |MA-MC|=k, avec k entier tel que 0<= k < AC-1.
c. les hyperboles d'équations |MB-MC|=k, avec k entier tel que 0<= k < BC-1.

4. Comme le nombre d'hyperboles de chaque famille est fini, et que deux hyperboles ont un nombre de fini de points d'intersection, le nombre de points de E distincts de A,B et C ne peut être infini. Contradiction.

[Kikoo <3 Bieber]

Ah ben t'étais dans une seconde étoilée SaintAmand :) de nos jours, il fait sécher bon nombre de futurs normaliens.

C'est une bonne démonstration. Je la formaliserai ce soir si possible

[SaintAmand]

Ah ben t'étais dans une seconde étoilée SaintAmand

Non, mais j'avais de bonnes lectures.

de nos jours, il fait sécher bon nombre de futurs normaliens.

Pffff! le niveau baisse… C'est sûr qu'un élève qui travaille avec le bac comme objectif ne saura comment aborder un tel problème. En revanche, il est largement faisable par un lycéen avec 1 an et demi de pratique sérieuse.

[Kikoo <3 Bieber]

Solution de N. Martin :

Par l'absurde, supposons que les points ne sont pas tous alignés.
Soient A et B deux de ces points.
Comme les points ne sont pas tous alignés, il existe un point C n'appartenant pas à (AB).

D un autre point distinct des trois premiers.

Soit A, B et D alignés, ce qui implique
Soit
D'où
Donc
De même,
Ainsi,
Il n'y a donc qu'un nombre fini de choix pour D, contradiction.

Pfiou, pas facile à recopier