Pour l'irrationalité de ln(2), on prend
.
1) Montre que, pour tout
où
et
puis déduit en que, pour tout
où
et
2) Montre que, pour tout
et déduit en que
où
puis, en étudiant
sur [0,1], déduit en que
3) On déduit du 1) et du 2) que, pour tout
.
Si ln(2) était un quotient on aurait
or, dés que
, l'entier
divise
(par définition de
) donc
est entier et donc (toujours lorsque
),
est un entier strictement compris entre 0 et
.
Si on montre que
tend vers 0, on tombe donc sur une belle contradiction.
Sauf que, si on regarde les différentes puissances de nombres premiers qui apparaissent dans les entiers 1,2,3,...,n, on voit que
où la somme se fait sur les nombres premiers
et
la partie entière du réel
.
On en déduit que
où
désigne le nombre de nombre premiers
.
Or, comme tout lycéen doit bien évidement le savoir (!!!!!!),
est équivalent à
lorsque
donc
est équivalent à
et cela prouve que
tend vers
, c'est à dire que
tend vers 0.
C'est effectivement parfaitement accéssible au Lycée !!!