[Défi] Irrationalité de Pi et ln 2, méthode intégrale

[benekire2]

et ça me permet de dire que An est non nul ? ( désolé je vois pas ... )

Après dans la suite de l'énoncé, sur l'irrationalité de pi je suis boqué sur les deux et sur ln(2) je coince à la deuxième.

PS: J'ai trouvé pourquoi An n'était pas nul. PAr contre pour la 2 de l'irrationnalité de pi comment doit-on faire ? Merci !

[benekire2]

Finalement la seule question sur laquelle je bloque c'est la III-3 sur l'irrationalité de ln(2)

Je vous remercie !

[Ben314]

Pour l'irrationalité de ln(2), on prend .

1) Montre que, pour tout où et puis déduit en que, pour tout où et

2) Montre que, pour tout et déduit en que où puis, en étudiant sur [0,1], déduit en que

3) On déduit du 1) et du 2) que, pour tout .
Si ln(2) était un quotient on aurait or, dés que , l'entier divise (par définition de ) donc est entier et donc (toujours lorsque ), est un entier strictement compris entre 0 et .

Si on montre que tend vers 0, on tombe donc sur une belle contradiction.
Sauf que, si on regarde les différentes puissances de nombres premiers qui apparaissent dans les entiers 1,2,3,...,n, on voit que où la somme se fait sur les nombres premiers et la partie entière du réel .
On en déduit que où désigne le nombre de nombre premiers .
Or, comme tout lycéen doit bien évidement le savoir (!!!!!!), est équivalent à lorsque donc est équivalent à et cela prouve que tend vers , c'est à dire que tend vers 0.

C'est effectivement parfaitement accéssible au Lycée !!!

[benekire2]

A ba oui .. mais pourquoi j'y ai pas pensé :zen: si simple pourtant !!!
( Ironique )
Merci beaucoup ben !!