Soit
:happy3:
[Défi] Racines n-ième
par Nightmare » 09 Mai 2010, 14:36
Autre exercice classique (je crois même l'avoir déjà proposé sur le forum) :
Soit
unitaire dont toutes les racines complexes sont de module 
. Montrer que ce sont des racines de l'unité.
:happy3:
Soit
:happy3:
par benekire2 » 09 Mai 2010, 14:55
mais ça va être la galère pour construire notre polynôme minimal d'interpolation ...
Nightmare : Je le traiterais après :happy3:
Nightmare : Je le traiterais après :happy3:
par Ben314 » 09 Mai 2010, 15:50
Bof, les "polynômes de lagrange" et autres "formules d'interpolation", une fois que tu as constaté que le polynôme :
(X-a_2)...(X-a_n)}{(b-a_1)(b-a_2)...(b-a_n)})
est de degré 
, qu'il vaut 0 en 
et 1 en 
, ben t'as à peu prés fait le tour du problème...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par benekire2 » 09 Mai 2010, 18:58
J'ai commencé à écrire:
=\Bigsum_{j=0}^{3n}P(x_0)\Bigprod_{i=0,i \neq j}^{3n} \frac{x-x_i}{x_j-x_i})
Que j'ai réécrit ( en fin je crois que c'est juste ... ) en séparant les sommes ,
=3\Bigsum_{j=0}^{n}\Bigprod_{i=0,i \neq j}^{3n} \frac{x-x_i}{x_j-x_i})
Est-ce juste déjà ? Si oui, comment continuer ?
Je sais que il va falloir un jour utiliser la formule de multisection pour réduire ça ...
Merci :we:
Que j'ai réécrit ( en fin je crois que c'est juste ... ) en séparant les sommes ,
Est-ce juste déjà ? Si oui, comment continuer ?
Je sais que il va falloir un jour utiliser la formule de multisection pour réduire ça ...
Merci :we:
par Ben314 » 09 Mai 2010, 19:47
C'est qui tes 
?
Commence par écrire
un polynome P0 qui vaut 1 en X=0 et 0 en X=1,2,3,...,3n puis
un polynôme P1 qui vaut 1 en X=1 et 0 en X=0,2,3,...,3n puis
un polynôme P2 qui vaut 1 en X=2 et 0 en X=0,1,3,...,3n
etc... jusqu'à
un polynôme P3n qui vaut 1 en X=3n et 0 en X=0,1,2,...,3n-1
(évidement, tout ces polynômes doivent être de degrés 3n)
Ensuite, le polynôme qu'on cherche, c'est
2.P0 + 1.P1 + 0.P2 + 2.P3 + 1.P4 + 0.P5 + ... + 2.P3n
Sauf que ça serait plus simple si on avait une gentille fonction qui à l'entier k=0,1,2,3,4,5,6... associe 2,1,0,2,1,0,2,...
Et pour moi, c'est là qu'il faut utiliser des puissances de)
Commence par écrire
un polynome P0 qui vaut 1 en X=0 et 0 en X=1,2,3,...,3n puis
un polynôme P1 qui vaut 1 en X=1 et 0 en X=0,2,3,...,3n puis
un polynôme P2 qui vaut 1 en X=2 et 0 en X=0,1,3,...,3n
etc... jusqu'à
un polynôme P3n qui vaut 1 en X=3n et 0 en X=0,1,2,...,3n-1
(évidement, tout ces polynômes doivent être de degrés 3n)
Ensuite, le polynôme qu'on cherche, c'est
2.P0 + 1.P1 + 0.P2 + 2.P3 + 1.P4 + 0.P5 + ... + 2.P3n
Sauf que ça serait plus simple si on avait une gentille fonction qui à l'entier k=0,1,2,3,4,5,6... associe 2,1,0,2,1,0,2,...
Et pour moi, c'est là qu'il faut utiliser des puissances de
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par benekire2 » 09 Mai 2010, 19:57
bah les xi c'était les 1;2;3;4;5 ..... mais je vais laisser tomber.
Je vais chercher cette gentille fonction :id:
tu vas rire , mais pour l'unstant je vois pas trop comment elle est ...
Je vais chercher cette gentille fonction :id:
tu vas rire , mais pour l'unstant je vois pas trop comment elle est ...
par Ben314 » 09 Mai 2010, 20:12
Si 
alors c'est bon (modulo le x_0) :
=\Bigsum_{j=0}^{3n}P(j)\Bigprod_{i=0,i \neq j}^{3n} \frac{x-i}{j-i})
et la "gentille fonction", ça serait celle qui donne P(j) en fonction de j mais sans faire trois cas selon la congruence de j modulo 3.
Aprés, l'autre truc à faire (avant ou aprés), c'est de regarder comment simplifier ta formule ci dessus, en particulier lorsque x=3n+1 : tu n'as plus que des produits d'entiers : ça doit sécrire avec des factorielles...
P.S. Je suis en train de me rendre compte que la méthode que j'ai employé n'est pas celle que Zweig attendait : tu peut oublier la "gentille fonction" et effectivement couper ta somme en 3 (3 valeurs possibles pour P(j)) puis simplifier l'expression obtenue lorsque x=3n+1...
et la "gentille fonction", ça serait celle qui donne P(j) en fonction de j mais sans faire trois cas selon la congruence de j modulo 3.
Aprés, l'autre truc à faire (avant ou aprés), c'est de regarder comment simplifier ta formule ci dessus, en particulier lorsque x=3n+1 : tu n'as plus que des produits d'entiers : ça doit sécrire avec des factorielles...
P.S. Je suis en train de me rendre compte que la méthode que j'ai employé n'est pas celle que Zweig attendait : tu peut oublier la "gentille fonction" et effectivement couper ta somme en 3 (3 valeurs possibles pour P(j)) puis simplifier l'expression obtenue lorsque x=3n+1...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par benekire2 » 09 Mai 2010, 20:22
ok,j'ai découpé en 3 puis supprimé le cas P(j)=0 puisque ça annule tout, ensuite je me retrouve avec :
=3\Bigsum_{j=0}^{n}\Bigprod_{i=0,i \neq j}^{3n} \frac{x-i}{j-i})
et donc=3\Bigsum_{j=0}^{n}\Bigprod_{i=0,i \neq j}^{3n} \frac{3n+1-i}{j-i})
c'est bien ça ?
PS: Même si "j'oublie" la "gentille fonction" ça m'intrigue ... j'y réfléchirais demain a cette fonction !
et donc
c'est bien ça ?
PS: Même si "j'oublie" la "gentille fonction" ça m'intrigue ... j'y réfléchirais demain a cette fonction !
par Ben314 » 09 Mai 2010, 21:13
Ben... pas franchement,
=\left\{\matrix{<br />2\ {\rm si }j\equ 0\ [3]\cr<br />1\ {\rm si }j\equ 1\ [3]\cr<br />0\ {\rm si }j\equ 2\ [3]\cr<br />}\right.)
donc\ =\ 2\Bigsum_{\matrix{j=0\cr j\equ0\ [3]}}^{n}\Bigprod_{i=0,i \neq j}^{3n} \frac{x-i}{j-i}\ +\ \Bigsum_{\matrix{j=0\cr j\equ1\ [3]}}^{n}\Bigprod_{i=0,i \neq j}^{3n} \frac{x-i}{j-i})
aprés, faut que tu simpliffie (nettement)
donc
aprés, faut que tu simpliffie (nettement)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par benekire2 » 10 Mai 2010, 12:39
Je pense ( j'en suis sûr) qu'on peut écrire : ^{n-j}C_{3n+1}^j)
Il va donc falloir jouer avec la formule de multi section je pense ...
Il va donc falloir jouer avec la formule de multi section je pense ...
par benekire2 » 10 Mai 2010, 18:26
Donc il nous reste :
\ =\ 2\Bigsum_{\matrix{j=0\cr j\equ0\ [3]}}^{n}(-1)^{n-j}C_{3n+1}^j +\Bigsum_{\matrix{j=0\cr j\equ1\ [3]}}^{n}(-1)^{n-j}C_{3n+1}^j)
Bon ok ... ça fait une trop grosse équation encore ... mais à mon avis, bien que la combinaison dans la somme soit "bizarre" on doi pouvoir utiliser le 1). C'est ça ? :hein:
Bon ok ... ça fait une trop grosse équation encore ... mais à mon avis, bien que la combinaison dans la somme soit "bizarre" on doi pouvoir utiliser le 1). C'est ça ? :hein:
par Ben314 » 10 Mai 2010, 20:57
C'est O.K. , mais avant d'écrire 370=???, ça serait plus joli de simplifier l'expression de droite en utilisant la formule du VII)1) [Formule de multi-section] c'est "presque" la même application que le VII)2), y'a juste le (-1)^(n-j) en plus...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par benekire2 » 10 Mai 2010, 21:10
le truc qui m'embête c'est le fais que c'est des combis de j parmis 3n+1 ... tu me diras c'est la même chose ... enfin, je verrais ça demain :id: Là c'est révisions de français intensives :mur:
par benekire2 » 11 Mai 2010, 16:11
J'ai remarqué que sur ma formule précédente, j'avais des sommes jusqu'à n alors que c'est jusqu'a 3n normalement :doh:
Bon si je réécrit j'ai
\ =\ 2\Bigsum_{\matrix{j=0\cr j\equ0\ [3]}}^{3n}(-1)^{3n-j}C_{3n+1}^j +\Bigsum_{\matrix{j=0\cr j\equ1\ [3]}}^{3n}(-1)^{3n-j}C_{3n+1}^j)
ou encore en multipliant par -1 et encore par -1 :
\ =-( 2\Bigsum_{\matrix{j=0\cr j\equ0\ [3]}}^{3n+1}(-1)^{3n+1-j}C_{3n+1}^j +\Bigsum_{\matrix{j=0\cr j\equ1\ [3]}}^{3n+1}[(-1)^{3n+1-j}C_{3n+1}^j])-1))
Et bien sûr^{3n+1-j}C_{3n+1}^j=0)
J'appliquerais la formule du 1 plus tard ...
Bon si je réécrit j'ai
ou encore en multipliant par -1 et encore par -1 :
Et bien sûr
J'appliquerais la formule du 1 plus tard ...
par Ben314 » 12 Mai 2010, 09:24
C'est parfaitement O.K.
Reste à appliquer le 1) au bon polynôme...
Reste à appliquer le 1) au bon polynôme...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par benekire2 » 12 Mai 2010, 13:02
tu sous entend qu'il ne faut pas l'appliquer à ^{3n+1-j}C_{3n+1}^j)
?
LA formule étant)
je me demande , si on l'applique au polynôme^{3n+1-j}C_{3n+1}^jX^j=(X-1)^{3n+1})
si on va avoir la somme de ce que l'on veut jusqu'à la fin, puisque je sais pas trop comment les indices de la somme ( formule du 1) vont se comporter ...
?
LA formule étant
je me demande , si on l'applique au polynôme
si on va avoir la somme de ce que l'on veut jusqu'à la fin, puisque je sais pas trop comment les indices de la somme ( formule du 1) vont se comporter ...
par Ben314 » 12 Mai 2010, 13:48
Ben, je sous entend surtout que la formule du 1), on l'applique à un polynôme et que pour le moment, ça manque un peu de variable...benekire2 a écrit:tu sous entend qu'il ne faut pas l'appliquer à
Ca doit marcher...benekire2 a écrit:je me demande , si on l'applique au polynôme
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par benekire2 » 12 Mai 2010, 14:07
oui évidemment ça manque légèrement de variable, mais si on fait comme dans le 2 ça sous entend aussi la même méthode 
Bon alors là dessus,
^{3n+1-j}C_{3n+1}^jX^j=\frac{2}{3}\Bigsum_{t=0}^{2}(\omega ^t X-1)^{3n+1})
soit avec X=1 :
^{3n+1-j}C_{3n+1}^j=\frac{2}{3}\Bigsum_{t=1}^{2}(\omega ^t-1)^{3n+1})
De même
^{3n+1-j}C_{3n+1}^jX^j=\frac{1}{3}\Bigsum_{t=0}^{2}\omega ^{-t}(\omega ^t X-1)^{3n+1})
Bien sûr je vais essayer de réduire ça :happy3:
Bon alors là dessus,
soit avec X=1 :
De même
Bien sûr je vais essayer de réduire ça :happy3:
par benekire2 » 12 Mai 2010, 15:23
Du coup quand je réduis ça j'arrive ( assez rapidement) sur :
=1-(e^{\frac{2i \pi}{3}}-1)^{3n+1}(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}e^{\frac{2i \pi}{3}})-(e^{\frac{4i \pi}{3}}-1)^{3n+1}(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}e^{\frac{4i \pi}{3}}))
C'est ça qu'il fallait faire ou pas ? :doh:
C'est ça qu'il fallait faire ou pas ? :doh:
par benekire2 » 12 Mai 2010, 15:37
Je previens Dinnozo, la valeur des cosinus ets ... imbuvable :++:
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