[Défi] Irrationalité de Pi et ln 2, méthode intégrale

par **Zweig** » 02 Juin 2010, 17:20

Salut,

Un petit défi sympa, pas trop long, pas trop calculatoire si on s'y prend bien :

https://docs.google.com/fileview?id=0BzWeX07v5H01Y2IwNzU4MWYtNTI3NC00MWFhLWJiMDktMWNiYTEzNjY1ZDhm&hl=fr

Enjoy !

par **benekire2** » 02 Juin 2010, 18:44

Pour la deuxième je comprends pas trop ce que tu attends comme réponse ? P_1(x)=1-2x

par **Nightmare** » 02 Juin 2010, 19:06

Quid de sa transcendance ? :lol3:

par **Zweig** » 02 Juin 2010, 19:43

J'ai modifié le PDF, j'y ai inclu l'irrationalité de

Benkire2 > Je parlais des valeurs de x. Regarde les bornes de l'intégrale et tu ne connais pas 36 000 techniques pour calculer l'intégrale d'un produit ... Vois donc pourquoi, à condition de connaître un certain quelque chose sur f, utiliser les polynômes de Legendre est un choix judicieux.

Nightmare > C'est plus chiant à rédiger comme exo :we: J'en suis en plein dedans justement pour mon TIPE, quand je l'aurai comprise, peut-être que j'essaierai d'en faire un exercice ....

par **Nightmare** » 02 Juin 2010, 19:47

Je me la suis tapé en DM l'année dernière et je me rappelle en avoir bien chié :lol3:

par **benekire2** » 03 Juin 2010, 09:12

Salut,

Je bloque sur la 4 ; comment faire ? Je ne vois pas trop.

Merci !

par **girdav** » 03 Juin 2010, 09:17

Il faut faire des intégrations par parties et bien voir ce que valent les "crochets".

par **busard_des_roseaux** » 03 Juin 2010, 21:31

reste plus qu'à appliquer ça à

, pas vrai ?

ici

par **benekire2** » 04 Juin 2010, 12:41

Salut !

J'ai réussi la 4 par intégration par parties. la 3 grâce à la formule du binôme et à la dérivation d'un polynôme.

Par contre, pour la question 6, je sais qu'il faut conclure que le nombre qu'on a supposé rationnel ne l'est pas, mais je vois pas trop comment ! Comment faut il faire ?

Merci. :id:

PS: Dans la 4 , le résultat ne dépend-il pas de la parité de n ? Moi je trouve le résultat multiplier par (-1)^n

par **busard_des_roseaux** » 04 Juin 2010, 15:43

bonjour Zweig,

il faut que je fasse ton énoncé en détail (bien intéressant)

j'ai mis un peu la charrue avant les boeufs puisque le résultat est ouvert
pour la constante d'Euler-Mascheroni

en écrivant

puis en remplaçant n par

(suite extraite)

avec

pour

on obtient

ça serait surprenant que le procédé s'applique tel quel

En posant

( rationnel)

où la fraction

doit provenir d'une dérivée
n-ième d'une fonction convergeant suffisamment vite vers zéro
pour obtenir une limite < 1 à droite et une contradiction.

par **busard_des_roseaux** » 04 Juin 2010, 19:39

re-bonjour,

ces polynômes sont de degré 2n. Ils ont un zero d'ordre n
en

et

d'ordre n

grâce à un DL de Taylor local, on voit que , lorsque l'on dérive,
zéro et 1 deviennent des zéros d'ordre (n-1) et il apparait, suite au théorème
de Rolle généralisé, un zéro de la dérivée dans l'intérieur ]0;1[

d'où si

a 2n zéros, comptés avec leur multiplicité,

possède (n-1)+(n-1)+1=2n-1 zeros. Le compte est bon ! :zen:

En dérivant n fois, zéro et 1 cessent d'être des zéros de la dérivée nième , mais la dérivée n-ième s'annule quand même n fois dans l'intérieur ]0;1[

En dérivant 2n fois , on obtient un polynôme constant.

par **benekire2** » 04 Juin 2010, 21:18

salut busard !

Es-ce une "indic" pour moi ?

( Je demande car comme c'est censé être lycée, DL + Rolle (généralisé je connais pas ) c'est pas niveau lycée ! )

par **busard_des_roseaux** » 04 Juin 2010, 22:56

benekire2 a écrit:salut busard !

Es-ce une "indic" pour moi ?

euh, non :doh: Par contre, je peux t'assurer que ces trois exercices sont particulièrement intéressants

par **benekire2** » 04 Juin 2010, 23:09

Oui je sais qu'ils le sont .. c'est pour ça que j'essaye de les faire :we:

Cependant je bloque à la question 6 ... et vois pas trop comment déduire une contradiction !

par **Zweig** » 05 Juin 2010, 08:52

benekire2 a écrit:Oui je sais qu'ils le sont .. c'est pour ça que j'essaye de les faire :we:

Cependant je bloque à la question 6 ... et vois pas trop comment déduire une contradiction !

Encadre

et passe fait tendre

. Peut-il être nul ? Donc ... ?

par **Ben314** » 05 Juin 2010, 09:08

Salut Bene,
Je veut bien te filer un coup de main, mais l'énoncé ne me semble pas trés clair :

Dans l'énoncé, je comprend pas bien le sens de "f est une fonction inconnue" : en regardant la suite, j'ai pas l'impression que l'on cherche à determiner f donc je pencherais pour un "on suppose qu'il existe f et des rationnels an et bn tels que...".
De plus, je vois pas trop à quoi peut servir l'hypothèse que

Dans la 1) je ne vois pas pourquoi il y a des n à droite du = ni comment montrer que An est non nul : il me semble qu'une somme de rationnels non nuls peut être nulle, ou alors, il faut supposer les coeff du polynôme dans N, non tous nuls et que l'intégrale de x^nf(x) est strictement positive ???

Pour la 4), perso, j'ai un (-1)^n qui apparait du fait des n intégrations par parties.

Pour la 5), je comprend pas bien où est la question : y-a-t-il une question 5) ?
De plus, je comprend pas trop que l'on prenne comme hypothèse que

Pour la 6), en essayant de mettre les chose au clair,
Je suppose que

et

sont tels que

où

est le polynôme du 2) mais je suis pas trop sûr...
Dans ce cas, on aurait

grâce à l'hypothèse faite au 5) donc

par **Ben314** » 05 Juin 2010, 09:14

Salut Bene,
Je veut bien te filer un coup de main, mais l'énoncé ne me semble pas trés clair :

Dans l'énoncé, je comprend pas bien le sens de "f est une fonction inconnue" : en regardant la suite, j'ai pas l'impression que l'on cherche à determiner f donc je pencherais pour un "on suppose qu'il existe f et des rationnels an et bn tels que...".
De plus, je vois pas trop à quoi peut servir l'hypothèse que

Dans la 1) je ne vois pas pourquoi il y a des n à droite du = ni comment montrer que An est non nul : il me semble qu'une somme de rationnels non nuls peut être nulle, ou alors, il faut supposer les coeff du polynôme dans N, non tous nuls et que l'intégrale de x^nf(x) est strictement positive ???

Pour la 4), perso, j'ai un (-1)^n qui apparait du fait des n intégrations par parties.

Pour la 5), je comprend pas bien où est la question : y-a-t-il une question 5) ?
De plus, je comprend pas trop que l'on prenne comme hypothèse que

: les valeurs absolues, l'intégrale et la fonction h ne servent à rien.

Pour la 6), en essayant de mettre les chose au clair,
Je suppose que

et

sont tels que

où

est le polynôme du 2) mais je suis pas trop sûr...
Dans ce cas, on aurait

puis, grâce à l'hypothèse faite au 5),

donc

tend vers 0 et, comme c'est un entier, c'est qu'il est nul à partir d'un certain rang.
Sauf que je ne peut rien conclure du fait que j'ai pas compris comment on montrait que

est non nul...

Bon, sauf qu'à mon avis, j'ai rien compris du fait que pour la 6), j'utilise exclusivement l'hypothèse faite à la question 5) et le fait (qui sort de je ne sais pas où) que An est non nul : je comprend donc pas le but des questions...

par **busard_des_roseaux** » 05 Juin 2010, 21:53

approche théorique
question 1.1 : comment vous démontrer la non-nullité de l'intégrale ?
(la suite repose là-dessus)

par **benekire2** » 06 Juin 2010, 12:06

Salut a tous !

Si je comprends bien Ben, tu as du mal a saisir le sens des questions.. et comment montre-on alors que An est forcément non nul ? Je ne vois pas !

Merci de votre aide :we:

par **Ben314** » 06 Juin 2010, 15:06

Vu les applications qu'il y a derrière, la meilleur "retape" que je vois de l'énoncé est de commencer par :

On veut démontrer l'irrationnalité d'un réel .
On suppose que l'on dispose d'une fonction de classe sur , strictement positive sur et telle que, pour tout , il existe vérifiant

[Défi] Irrationalité de Pi et ln 2, méthode intégrale

[Défi] Irrationalité de Pi et ln 2, méthode intégrale

polynômes de Legendre et théorème de Rolle

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