Un défi en Or

[Ericovitchi]

Ceci est la coupe d'un prisme dont la section est un triangle équilatéral de coté 1.

On coupe un petit bout de triangle (équilatéral aussi) de coté x.
Si x est petit, le prisme est stable mais si x devient trop grand, il va basculer.
La question (niveau lycée donc essayez de laisser des lycéens répondre avant de donner la solution) est : Pour quelle valeur de x le prisme bascule t-il ?

[nodjim]

Pas dur du tout.

[Ericovitchi]

Tiens une curiosité. Si au lieu d'un triangle c'était un carré.


Et bien le x pour lequel le carré bascule est le même que pour le triangle !!
La magie du nombre d'or a encore frappé.

[Finrod]

Il tombe lorsque le centre de gravité est à la verticale du bout coupé ?

Mon intuition en sc physique est assez hasardeuse, et je ne suis pas convaincu alors je préfère poser la question.

[Ericovitchi]

oui pour que ça soit stable, il faut que le centre de gravité du bout qui reste tombe dans le polygone de sustentation donc en pratique dans le segment qui forme la base.

[Ericovitchi]

Alors ? Pour quel x il tombe mon triangle ?

[Doraki]

Si G,M sont le centre de gravité du grand triangle et l'aire du grand triangle ;
g,m = pareil pour le petit triangle,
alors le centre de gravité de "grand triangle - petit triangle" =
barycentre (G,M)(g,-m).

Bar(1/2,1)(x/2,-x²) = x.
<=> (1-x^3) = 2x(1-x²)
<=> (x-1)(x²+x-1) = 0,

Donc ça bascule pour x = (sqrt(5)-1)/2.

Pour un carré où on enlève un carré de coté x, (ou pour toute autre forme qui soit étoilée en son coin dont on enlève la même forme rapetissée) c'est exactement la même chose.

Pour un carré où on enlève un triangle rectangle isocèle,
ça fait Bar(1/2,1)(x/3,-x²/2) = x
<=> (3-x^3) = 3x(2-x²)
<=> 2x^3-6x+3 = 0

Soit x = 0.55787...

[Ericovitchi]

Trop fort ce Doraki. Les murs du palais de la princesse Ramamamouna doivent être couverts de symboles mathématiques. :we:

[miikou]

on pouvait si attendre vu le titre ...

[Finrod]

Trop fort ce Doraki. Les murs du palais de la princesse Ramamamouna doivent être couverts de symboles mathématiques. :we:

Il m'impressionne toujours moi aussi. Rien ne l'arête.