Défi 4: séparément polynomial => polynomial ?

[ffback]

Enoncé: Soit un corps quelconque. Si est une fonction telle que pour tout dans , les fonctions et sont des fonctions polynomiales, alors la fonction est-elle nécessairement polynomiale?

Bonus tranquillou: généraliser l'exercice pour .

Rappel au cas où: une fonction est dîte polynomiale si il existe dans tel que .

[aviateur]

Bonjour
si la caractéristique de K=0, la réponse est oui, sinon??

[ffback]

Une preuve pour le cas où car(K)=0?

[aviateur]

Pour une preuve: je travaille dans la base
que je note
Pour tout et on a
où les sont des coefficients qui dépendent de y, nuls à partir d'un certain rang (rang qui a priori peut dépendre de y).
De façon analogue on peut écrire
En particulier :
est donc un polynôme.
De même
et on en déduit que est un polynôme.
Ainsi de suite, avec les valeurs x=2,.... on en déduit que sont des polynômes.
En résumé pour tout et il reste à voir que la somme est une somme finie, i.e que les polynômes sont nuls à partir d'un certain rang.
En supposant que le corps est ou l'ensemble de toutes les racines de tous les est dénombrable, il existe donc un tel que mais cela contredit
le fait que est polynomial par rapport à la variable x. Donc les sont nuls à partir d'un certain rg.

[ffback]

Ok, je suis d'accord avec cette démo dans le cas K=R ou C.

[Ben314]

Salut,
J'ai l'impression que ça marche dans tout les cas le truc d'aviateur modulo d'ajouter quelques précisions :

1) Au départ, ça ne sert à rien de supposer le corps de caractéristique 0 : pour faire sa construction, il suffit de supposer qu'il est infini et de prendre les polynômes où sont des éléments distincts de .
Et on peut faire remarque en amont que de toute façon, si le corps est fini, le résultat est trivialement vrai vu que toute fonction de dans et plus généralement de dans est polynomiale.

2) Et à la fin, la preuve fonctionne (modulo de préciser que l'on prend l'ensemble des racines des polynômes non nuls parmi les a_k, mais je chipotte...) pour n'importe quel corps infini non dénombrable.

Bref, il reste uniquement le cas des corps infini dénombrables, sauf que j'ai l'impression que dans ce cas là, ça marche pas : si et qu'on pose puis alors, pour un fixé de on a vu que pour donc c'est bien un polynôme en . Par contre, n'est pas un polynôme vu que les degré des polynômes peuvent être arbitrairement grand (et comme le corps est infini, il n'y a qu'une seule représentation sous forme de polynôme)

[ffback]

C'est bien ça. La propriété est vraie si et seulement si K est fini ou indénombrable. Bien joué á vous deux!