Salut,
J'ai l'impression que ça marche dans tout les cas le truc d'aviateur modulo d'ajouter quelques précisions :
1) Au départ, ça ne sert à rien de supposer le corps de caractéristique 0 : pour faire sa construction, il suffit de supposer qu'il est infini et de prendre les polynômes
où
sont des éléments distincts de
.
Et on peut faire remarque en amont que de toute façon, si le corps
est fini, le résultat est trivialement vrai vu que toute fonction de
dans
et plus généralement de
dans
est polynomiale.
2) Et à la fin, la preuve fonctionne (modulo de préciser que l'on prend l'ensemble des racines des polynômes
non nuls parmi les a_k, mais je chipotte...) pour n'importe quel corps infini non dénombrable.
Bref, il reste uniquement le cas des corps infini dénombrables, sauf que j'ai l'impression que dans ce cas là, ça marche pas : si
et qu'on pose
puis
alors, pour un
fixé de
on a
vu que
pour
donc c'est bien un polynôme en
. Par contre,
n'est pas un polynôme vu que les degré des polynômes
peuvent être arbitrairement grand (et comme le corps est infini, il n'y a qu'une seule représentation sous forme de polynôme)