~~ Défi Lycée ~~ Polynomial party

[Sake]

Bonjour,

Fermat et Euler ont trouvé de quoi occuper leur soirée.
Le polynôme de degré 2016 ci-dessous n'a pas de coefficients :

Les deux joueurs vont alors, chacun à leur tour, remplir une case par un nombre réel. C'est Euler qui commence.
Lorsque toutes les cases sont remplies, si l'équation admet au moins une solution réelle, c'est Euler qui gagne. Sinon, Fermat remporte la partie.

Sachant que les deux mathématiciens jouent de façon optimale, quelle est la probabilité que Fermat soit le vainqueur ?

Bon courage !

Nota : Euler n'était pas contemporain de Fermat

[Lostounet]

Salut!

Hyper intéressant ce défi...!

... Euler serait-il mauvais joueur à mettre un zéro au début?

[zygomatique]

salut

ils remplissent une case quelconque ? ... ou dans l'ordre ?

[Sake]

Salut vous deux,

Tel que le problème est formulé, on peut mettre n'importe quel réel dans les cases. Pas d'autre condition restrictive sur le choix des coefficients...
De plus, il n'est pas indiqué s'ils doivent remplir les cases dans un ordre spécifique. Les deux compères choisissent la case de leur choix parmi les cases restantes à chaque tour.

@Lostounet : Presque mais chut !
Et étoffe un peu si possible (en blacotant ta réponse pour laisser les autres chercher)

[Lostounet]

hahaha C'est fait
Mais que se passerait-il si le coefficient devant x^2016 valait 1 par exemple ?

[samoufar]

Salut à tous,

Encore plus simple : Dans ces conditions, Euler place le dernier coefficient. Ainsi il choisit le bon coefficient pour avoir P(1)=0, et c'est gagné.
Edit : Encore beaucoup plus simple : Euler fixe le coefficient constant à 0 et gagne instantanément.
Voilà

[Lostounet]

@Samoufar: Pourquoi a-t-il besoin de se fatiguer autant? Il peut rester des termes pairs

[samoufar]

J'ai réédité mon message

[Lostounet]

J'ai réédité mon message

Ou bien juste 0 au terme en x^2016 et il va faire une sieste

[samoufar]

Et si Fermat mettait 0 au terme en x^2015 ? (qui est d'ailleurs l'unique moyen de prolonger -inutilement- la partie)

[Lostounet]

A ce moment il en remet un autre xD

Sinon, on pourrait imposer qu'ils doivent choisir des coefficients distincts

[samoufar]

A ce moment il en remet un autre xD

Justement, vu qu'il place le dernier coefficient, peu importe ce qui est joué avant puisqu'à la fin il a toujours moyen d'annuler P (par exemple en 1 pour éviter de trop calculer). Il peut bien mettre 3 482 410 devant x^2016, il est toujours certain de gagner.

Sinon, on pourrait imposer qu'ils doivent choisir des coefficients distincts

Même sous cette condition, il lui suffit de choisir tous les coefficients positifs et plus grands que ceux de Fermat et alors il peut choisir le dernier coefficient négatif de telle sorte que P(1)=0.

[Lostounet]

Que se passerait-il si par exemple, on imposait un certain coefficient au départ?

Par exemple, une même partie avec Quelle est la proba de gagner...

Voire avec du degré 6 pour pas qu'on aille chercher Ferrari
Edit: J'impose en plus le tout dernier...

[samoufar]

Que se passerait-il si par exemple, on imposait un certain coefficient au départ?

Par exemple, une même partie avec Quelle est la proba de gagner...

Voire avec du degré 6 pour pas qu'on aille chercher Ferrari

Cette fois-ci, c'est Fermat qui place le dernier coefficient. De la même manière, il peut s'arranger pour avoir P(1)=0. Donc c'est Fermat qui gagne à tous les coups

Désolé pour tous les blancs au passage

[Lostounet]

J'ai déjà édité mon message

[samoufar]

Toujours le même raisonnement

Le dernier à jouer n'a plus qu'un seul coefficient à placer. Notons P = a_0+a_1*x+...+a_n*x^n. Le dernier à jouer n'a plus qu'un seul coefficient à placer, disons a_k. L'équation P(1)=0 étant équivalente à a_0+a_1+...+a_n*=0, il suffit de choisir a_k=-(a_0+a1+...+a_{k-1}+a_{k+1}+...+a_n pour gagner. Ainsi le dernier à jouer gagne à tous les coups. Après si ce joueur choisit toujours des coefficients positifs plus grands que ceux de son adversaire, il est certain que son dernier coefficient sera négatif et donc qu'il jouera des coefficients tous distincts.

Désolé si les formules sont un peu illisibles, mais on ne peut pas écrire en LaTeX et en blanc

[Lostounet]

Grrrr *growl* oui en effet

Comment compliquer le problème... en imposant une borne pour les coefficients peut-être... Je réfléchis

[samoufar]

Peut-être en donnant la possibilité de modifier entre 1 et k coefficients à chaque tour (k=2 ou 3 par exemple)

[Lostounet]

Peut-être en donnant la possibilité de modifier entre 1 et k coefficients à chaque tour (k=2 ou 3 par exemple)

Tant que tu pourras nous faire P(1) ce sera pas marrant

Que penserais-tu d'un mix rationnel irrationnel?
Deux joueurs, Rationnel et Irrationnel jouent. Ils placent des nombres de nature chacun selon son prénom et on place Rationnel en situation avantageuse.

Quoique.. bon pas vraiment beaucoup plus difficile.

[Ben314]

Salut,
Pour que le problème soit intéressant, il suffit que le dernier à jouer soit Fermat dont le but est de se débrouiller pour qu'il n'y ait pas de racine réelle.

Dit autrement, le raisonnement de Samoufar ne marche que lorsque le dernier a pour objectif d'exhiber une racine réelle.

Par exemple, avec P=aX²+bX+c et Fermat qui commence (et finit), il va perdre, mais c'est moins trivial :
- S'il commence par autre chose que c=? (non nul) alors Euler jouera c=0 et le polynôme aura 0 comme racine quelque soit le dernier choix de Fermat.
- S'il commence par c=? (non nul) alors Euler joue a=? de façon a avoir ac<0 et il y aura forcément une racine réelle quelque soit le dernier choix b=? de Fermat.