Défi d'algèbre

[alphamethyste]

bonjour

je place ce sujet sur cette rubrique car je sais comment résoudre ce "défi" et je posterai plus tard ma résolution

le défi consiste à trouver de façon explicite (parmis toutes les possibilités possibles)
un ensemble non dénombrable que l'on note et deux bijections et et le défi complémentaire donné à la fin
cet ensemble et ces deux bijections sont définies par les quatre lois suivantes :

premiere loi

par conséquent on peut construire une bijection entre les deux ensembles et

deuxième loi

par conséquent les éléments de sont donc des lois de composition internes dans

troisième loi
on note par * la loi de composition interne qui defini un élément quelconque de alors on vérifie :
alors réflexivité
alors
alors
l'addition est distributive par rapport à cette loi
le produit est distributif par rapport à cette loi
auto-distributivité

quatrième loi
on note deux ensembles non dénombrables et selon :



par conséquent ces deux ensembles de et forment une partition de

on note les ouverts et

les bijections et

-on note * la loi decomposition interne qui correspond à l'élément de cet élément étant déterminé par la bijection alors on vérifie
tels que alors

-on note * la loi decomposition interne qui correspond à l'élément de cet élément étant déterminé par la bijection alors on vérifie
tels que alors

DEFI COMPLEMENTAIRE
un triplet étant donné
déterminer le réel s'il existe qui appliqué à l'une des deux bijections ou donne la loi telle que :

[alphamethyste]

edit : j'ai fait deux fautes de frappe , à présent l'énoncé est correct

[alphamethyste]

edit : encore deux dernieres fautes de frappe

bon là l'énoncé est correct ... rien à signaler

[L.A.]

Bonjour,

Personnellement je n'ai pas compris tes histoires de bijections, je ne vois pas ce que tu veux dire par

on note * la loi decomposition interne qui correspond à l'élément de P cet élément étant déterminé par la bijection f alors on vérifie

dans le contexte une loi * est de la forme f(t), elle est donc donnée par f et t et pas seulement par f. Est-ce que tu veux dire que la propriété qui arrive après est valable pour tout t ? pour un t ? et même globalement je ne vois pas l'intérêt des bijections f et g, il me semble qu'on pourrait s'en passer totalement et parler uniquement des ensembles P et Q. En tout cas vu que f et g n'ont aucune forme de régularité particulière, elles ne servent a priori à rien.

Dans le défi complémentaire, quand tu dis "trouver x dans ]0,1[..." la lettre x est déjà attribuée, donc je suppose que c'est "trouver t". Et puis ça m'étonnerait qu'un tel t existe toujours quelque soit l'ensemble U vérifiant les autres conditions.

[alphamethyste]

salut

concretement par exemple pour la bijection f alors pour un réel x dans l'intervalle ]0,1[ on fait correspondre un élément u de

cet élément là u de l'ensemble donc ici est une loi de composition interne de

et cette loi de composition interne doit obeir à ce qui est décrit dans la troisième loi
(reflexivité , auto-distributivité et etc ...)

[alphamethyste]

pour le reste oui mon propos du defi complémentaire était peut être un peu ambigue
pas trop quand même car le triplet (x,y,z ) est donné alors le x recherché n'est pas celui du triplet

je viens de le corriger en le nommant l'inconnue

à présent tout est clair je viendrai plus tard pour une solution

[Ben314]

Salut,
La dernière question a pas trop de sens vu la façon dont le reste est formulé :
Vu que tu n' aucun désiratas concernant les bijection f et g (à part que ce soit des bijections), il y a évidement une énorme infinité de fonction f et g répondant à la fin de la 4em loi.
Et tout aussi clairement, la réponse à la "question défi" va dépendre de ce qu'on a choisi comme fonction f et comme fonction g.

A mon avis, il faudrait au minimum rajouter dans la fin de la 4em partie :
"trouver des bijection "naturelles" de ]0,1[ dans P et de ]1,+oo[ dans Q"
pour expliquer qu'on ne doit pas prendre n'importe quelle bijection, mais en trouver une de relativement simple.

EDIT et un autre truc : je suis pas sûr du tout que ça se dise "réflexive" pour une loi (c'est plutôt à une relation que ça s'applique")

[Ben314]

Déjà, perso, je préfère noter putôt que un truc dont les propriétés ne sont pas claires.

Donc, si , pour tout on a :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)

Le (c) dit que où
Puis le (d) dit que donc

Bilan : les éléments , sont tous de la forme où k est un paramètre que l'on pourait prendre, comme par hasard, dans
Et y'a plus qu'à vérifier que tout marche et que, si on prend pour f et g les bijection "naturelles" on a une réponse évidente à la "question défi".

[alphamethyste]

Et y'a plus qu'à vérifier que tout marche et que, si on prend pour f et g les bijection "naturelles" on a une réponse évidente à la "question défi".

bravo et salut Ben 314

tu a répondu à l'énigme!! (excuse pour le retard je dormais)

conviens tout à fait!

je suis pas sûr du tout que ça se dise "réflexive" pour une loi (c'est plutôt à une relation que ça s'applique")

oui effectivement il vaut mieux dire cela pour une relation binaire

comme il s'agit d'un défi et qu'il existe une infinité de possibilités je viendrai proposer une autre solution

[alphamethyste]

... bon sinon une autre possibilité : (donc qui vérifie les quatre lois)

pour tout réel

selon alors
la valeur de est le réel sur lequel converge la suite

pour déterminer cette suite on pose deux applications explicitées plus loin avec la notation et

en posant



et alors

en ce qui concerne les applications et

on pose la convention de notation qui pour tout réel positif alors désigne sa partie entière



avec où est le réel positif sur lequel converge les suites adjacentes et selon

on pose et et alors et

à présent pour le défit complémentaire

soit est donné un triplet tel que ou bien ou bien ou bien

alors on recherche un réel qui vérifie

... je reviens plus tard ...

[Ben314]

Tu es en train de nous faire quoi comme "délire" là :

Déjà, sur tes 4 "lois", la 1) ne dit à peut prés rien d'utilisable, la 2) ne dit rien du tout (si ce n'est de mettre en place les notations utile pour la 3), et la 4) est totalement absurde : tout ensemble infini peut s'écrire (d'un nombre inimaginable de façon) comme réunion disjointe de deux de ces parties qui lui sont équipotents.

Bilan, il reste que la 3) "d'utile" et après un vague coup d'œil, avec uniquement 2 des 5 propriétés demandés, on a complètement torché le truc : U ne contient que des applications de la forme (x,y)->(1-k)x+ky avec k dans R.

Alors que toi, visiblement, non seulement tu es parti pour faire du archi. super compliqué, mais en plus en rajoutant des hypothèses supplémentaires (dans un truc qui en contient déjà beaucoup trop) :
Avec ton coup de dire qu'on "va prendre pour z la limite de...", tu as pas un tout petit peu l'impression que, pour que ça serve à quoi que ce soit, il faudrait savoir si les fameuses fonction alpha:R²->R qui sont dans U sont ou pas continues ?
Si elle le sont pas, tu pourra calculer autant de limites que tu veut, ça te donnera rien comme info...
Ou alors, tu compte utiliser en plus les informations de la fin de ton truc concernant les inégalités (les trucs que par ailleurs, on ne sait même pas si c'est dans les "conditions" pour être dans U ou si c'est des trucs qu'on doit démontrer...)

[alphamethyste]

salut

bon dimanche Ben314 ça va? bon ne t'énerve pas camarade et bonjour quand même

en tout cas j'ai vérifié et ce que tu as dit respecte les quatre lois (dans ce que j'ai dit les quatre lois sont verifiées, aussi )

à part ça :

la premiere loi a bien son utilité car elle dit que U est non denombrable

la deuxieme loi dit que U est un sous ensemble de R^(RxR) mais sans la premiere loi ce sous ensemble pourrai être fini ou denombrable )

et la quatrieme loi dit cela (même si j'ai parlé d'une partition de U inutilement )
pour x1 alors

tu peut verifier que ma solution respecte aussi ces quatre lois

[Ben314]

Bon, il faudrait quand même que tu comprenne le B-A-BA de la cardinalité :
Ta quatrième loi elle ne dit (quasiment) RIEN : partant d'un ensemble infini (ici ayant la puissance du dénombrable) il y a un nombre monstrueux de façons de le couper en deux et de préciser que les deux partie doivent être de même cardinal que U ne limite quasiment pas les possibilités.
On a l'impression que tu raisonne comme si ton truc "définissait" quelque chose.
Et, pire encore, à la "partie suivante", ça donne l'impression que tu considère que de dire que "f est une bijection de ]0,1[ dans P et g une bijection de ]1,+oo[ dans Q" ça donne un début d'information sur qui peuvent bien être les fonction f et g alors que ça en donne quasiment aucune.

Comme visiblement tu semble pas bien à l'aise avec les cardinaux infini, transposons le même truc dans le cas fini :
U est un ensemble à disons 100 éléments.
Est ce que tu crois que de dire que tu as coupé U en deux parties P et Q disjointes à 50 éléments permet de déduire grand chose concernant les parties P et Q (a part bien sûr qu'elle ont 50 éléments) ?
Ensuite, on prend une bijection f de {1,2,...,50} dans P et une bijection g de {51,52,...,100} dans Q.
Est ce que tu as l'impression qu'avec ça comme info, on risque de dire quoi que ce soit concernant "qui" est f et qui est g ?, par exemple en déduire que f(x)>quelque chose ?

Et concernant "ta solution", je me suis arrêté au fait que :
- C'est archi super compliqué comme méthode pour résoudre un truc qui demande une ligne de calcul niveau Collège.
- J'ai pas lu au delà de la deuxième ligne où tu parle de "limite" vu que rien qu'en écrivant ça je sais que tu ne peut rien en conclure sans hypothèses concernant la continuité des fonctions alpha qui sont dans U.

Si vraiment tu y tient, je peut regarder la suite, mais je suis persuadé que c'est du "n'importe quoi" (désolé de te le dire...)

[alphamethyste]

(Ben 314 je sais ce qu'est une cardinalité -merci et je sais même dire bonjour )

j'ai pas dit que les deux premieres lois disaient autre chose que ce qu'elles disent

(j'ai jamais prétendu cela )

c'est à dire que U devra être non denombrable (c'est pas obligatoire)

le fait que U soit fini ou pas ne donne aucune information sur les éléments de U

c'est à partir de la troisieme loi qu'on sait ce que sont ces éléments

si j'ai pu vérifier que ton truc fonctionne , c'est par les infos de la troisieme loi et de la quatrième loi

quand à mon truc

par exemple





tu vérifie -0.622+1=0+0.378





et toutes les autres propriétés

bon sinon (puisqu'on est enfin d'accord) je continue pour selon mon truc donné pour solutionner le defi complementaire (qui dans ta solution est évident) ?

pour le reste si tu veux je donnerai le programme ecrit pour une TI Inspire CX CAS qui me calcule ma solution

d'accord ? ... oui ou non?

[alphamethyste]

Ben 314 on est d'accord oui ou non ?

pour mon truc (je ne parle pas là de ta solution qui est correcte )

par exemple pour avec t>1 et 0x_2>t>x_3>x_4[/tex] avec









je te file le programme sur TI Inspire CX CAS

attention toutefois si tu vérifie les inégalitées ci-dessus car le calcul necessite de travailler sur beaucoup plus de chiffres decimaux que 10 lorsque la distance entre x et est inferieure à 0.1

ou lorsque la distance entre y et est inferieure à 0.1

on pose l'argument 0<eps<10^-12

la fonction agmtr() donne la solution de
cette fonction utilise les fonctions agm() et ineg()

voir le code sur le post suivant

[alphamethyste]

en ce qui concerne les programmes machine donnés précédemment
afin de voir numériquement ce que ma solution donne

pour éviter certaines aberrations qui sont dues au calcul sur des valeurs approchées lorsque la distance entre x et est inferieure à 0.1 ou lorsque la distance entre y et est inferieure à 0.1 et qui font que la machine ne puisse pas sortir de la commande While

auquel cas on est obligé d'arrêter la machine en la réinitialisant (ce qui est embêtant)

je conseille plutôt d'opter pour les écritures ci-dessous(mais dans ces aberrations de calcul la solution donnée ne sera pas valable pour obtenir alors la valeur correcte il faut que la machine puisse calculer sur une plus grande partie décimale que 10 chiffres
on saura cependant que le calcul sera inexact et que donc la machine ne serait pas sortie de la commande While sans cette modification ci-dessous du programme initial donné précédemment car en sortie la valeur donnée sera de 10^90 , ce qui est une aberration

1 Define agmtr(a,b,c,eps)
2 Func
3 Local boucle,e,j,n,a0,a1,b0,b1,c0,c1
4 e:=eps
5 a0:=c
6 IF eps = 1-10^-12 Then
9 e:=10^-9
10 ElseIF ce
26 boucle=boucle+1
27 b0:=abs(a-c1+((c0-c1)/n!))
27 b1:=abs(a-c1)
28 a0:=agm(b0,b1,e)
29 c0:=c1
30 c1:=a+j.a0
31 n:=n+1
32 If boucle >=100 Then
33 c0:=0
34 c1:=0
35 e:=0
36 EndIf
37 EndWhile
38 If boucle >=100 Then
39 c0:=10^90
40 EndIf
41 Return c0
42 EndFunc

1 Define agm(a,b,eps)
2 Func
3 Local boucle,a0,b0,a1,b1,a2,b2,c2
4 c2:=eps
5 a2:=a
6 b2:=b
7 IF eps ==1-10^-12 Then
10 c2:=10^-9
11 ElseIf ac2
20 boucle:=boucle+1
19 a0:=a1
20 b0:=b1
21 a1:=(a0+b0)/2
22 b1:=
23 If boucle >=100 Then
24 a1:=0
25 b1:=0
26 c2:=0
27 EndIf
28 If boucle >=100 Then
29 a1:=10^90
30 EndIf
31 EndWhile
32 Return a1
33 EndFunc

[Ben314]

Je comprend absolument que dalle à tes truc archi compliqués pour résoudre un truc niveau Collège.
Une fois qu'on a montré (en 2 lignes) que toutes les fonctions appartenant à ton ensemble U sont de la forme avec k dans R.
Ensuite, on peut écrire à peu prés n'importe quoi du fait qu'on sait (presque) rien de U.
Par exemple, on pourrait prendre pour U, l'ensemble des fonctions de la forme çi dessus avec k un élément de l'ensemble triadique de Cantor (ça ferait bien un U qui a la puissance du continu) ou alors, on prend les k dans l'ensemble des nombres de Liouville (toujours O.K. au niveau cardinalité). En bref, on peut prendre des k vivant dans absolument n'importe quelle partie de R qui soit non dénombrable : je te dit pas le nombre de possibilités que ça fait pour ton ensemble U !!!
Idem (voire pire) concernant les parties P et Q et les fonction f et g qui peuvent être (presque) n'importe quoi vu l'énoncé.
Donc tel que ton énoncé est bâti, la réponse à la "question défi", c'est :
On peut prendre absolument n'importe quel réel alpha : ça marchera pourvu qu'on ait pris des fonctions f et g "adéquate".

Après, effectivement, si on demande à f et g d'être des bijection "naturelles", alors c'est bêtement les fonction (voir notation dans le post précédent) et le moins qu'on puisse dire, c'est qu'il y a pas besoin d'avoir beaucoup de bagage pour résoudre (1-k)x+ky=z avec x,y,z connus et k comme inconnue : ça fait k=(z-x)/(y-x) et point barre.

Donc je te le (rerere)dit (et ça sera la dernière fois) : où diable as-tu besoin d'une machine à calculer pour résoudre des trucs aussi évidents que ceux de ton problème ?

[Ben314]

Ben 314 on est d'accord oui ou non ?
bon apres là -si tu est toujours d'accord- pour ma solution je reviens pour le defi mis en supplément

Et si ç'est ça la question, ben non, on est pas d'accord.
Je t'ai déjà dit que je suis pas allé plus loin que la ligne 2 vu que tu conclurais rien avec des limites de suites car on ne sait pas si les fonctions alpha dans U sont continues ou pas.
Tout ce que je peut te dire, c'est que regardant la suite en diagonale, j'ai pas l'impression qu'il y ait la moindre preuve de quoi que ce soit où que ce soit : où démontre tu par exemple que la limite de ta suite archi-pourrie converge nécessairement vers x*y ? (ça m'intéresserait fort de voir quels arguments tu emploie)

Et, même si tu concluais quoi que ce soit, je verrais vraiment pas l'intérêt d'un truc aussi compliqué alors qu'il y a une méthode "à deux rond" pour résoudre le problème en 3 lignes.

[alphamethyste]

je comprend pas du tout ta colère ...essaye d'être un peu plus zen (à défaut d'être poli-je demande pas à ce point non plus que tu dise bonjour )

tout simplement que ma solution fonctionne

tu peut vérifier ... et tu vois que là la solution que je donne diffère de la tienne

(en prennant une bijection naturelle) mais évidemment dans ce defi il faut donner une solution explicite donc ta solution par une bijection naturelle reste correcte -j'en ai une autre et qui ne passe pas par une definition explicite de la bijection recherchée (le defi ne demande pas d'exprimer explicitement cette bijection)

et on obtiens idem la distributivité de l'addition par rapport à ces LCI

et la distributivité du produit par rapport à ces LCI

et idem l'autodistributivité de ces LCI

et on obtiens idem

et idem

et idem pour pour 0<t<1
bon il reste à faire le defi complémentaire (car pour TA solution le defi complémentaire va de soi mais pas pour ma solution)

pour cela on profite du fait que( comme tu le dit si bien niveau collège )
la distributivité de l'addition par rapport à ces LCI et la distributivité du produit par rapport à ces LCI

[alphamethyste]

NB : diffère de la tienne en prennant une bijection naturelle

mais évidemment dans ce defi il faut donner une solution explicite donc ta solution par une bijection naturelle reste correcte -j'en ai une autre et qui ne passe pas par une definition explicite de la bijection recherchée (le defi ne demande pas d'exprimer explicitement cette bijection il faudrait bien relire ce que j'ai dit avant de t'emporter -c'est mauvais pour le coeur)

pour le reste et à présent que tu a réfléchit je repose la question :
est-ce que tu est d'accord ? et puis-je continuer pour solutionner le defi posé en complément avec ma solution celle ci diffère forcément de la solution évidente posée par ta solution par une bijection naturelle