Défi 25

On a découvert il y a peu que l'on pouvait paver un carré par des carrés ( au moins deux ) de tailles toutes différentes et la solution n'est pas simple . Peut-on paver un triangle équilatéral par avec un nombre fini de triangles équilatéraux , tous de tailles différentes ?

J'ai une solution , pas très claire , si quelqu'un voulait bien s'intéresser au problème !

Imod

Imod a écrit:On a découvert il y a peu que l'on pouvait paver un carré par des carrés ( au moins deux ) de tailles toutes différentes et la solution n'est pas simple . Peut-on paver un triangle équilatéral par des triangles équilatéraux , tous de tailles différentes ?

J'ai une solution , pas très claire , si quelqu'un voulait bien s'intéresser au problème !

Imod

D'après toi, un élève de Term S peut le faire? J'ai pensé à l'utilisation de suites, mais je sais pas si j'suis sur la bonne piste...

En fait on peut s'intéresser a un pavage de trapèze régulier no ?

Imod a écrit:On a découvert il y a peu que l'on pouvait paver un carré par des carrés ( au moins deux ) de tailles toutes différentes et la solution n'est pas simple . Peut-on paver un triangle équilatéral par des triangles équilatéraux , tous de tailles différentes ?

J'ai une solution , pas très claire , si quelqu'un voulait bien s'intéresser au problème !

Imod

Salut Imod, on peut meme paver un polygone a partir de triangles identiques.
On fait ca dans la methode des elements finis. Si tu patientes 2 mois et quelques je te fourni une reponse generale et mathematiques a ton probleme. Je l'avais deja vu de mon coté, mais ce n'est plus tres frais, et la en plus c'est un vrai cours complet muni d'applications que j'ai par la fac.
La technique c'est de diviser la surface en maillage. Chaque triangle est entouré de trois autres triangles, sauf les triangles sur les bords qui ne partagent leur faces qu'avec deux triangles. Dans la pratique on exprime le probleme en coordonnée barycentrique , ce qui permet de traiter le probleme relativement a la position par rapport au sommet. Si les coefficient sont positifs cela permet par exemple de nous dire que l'on est dans le triangle.

anima a écrit:D'après toi, un élève de Term S peut le faire? J'ai pensé à l'utilisation de suites, mais je sais pas si j'suis sur la bonne piste...

La méthode que j'ai utilisé ( pas très "propre" ) , n'utilise pas plus que la géométrie de collège ) .

BQss a écrit:Salut Imod, on peut meme paver un polygone a partir de triangles identiques.
On fait ca dans la methode des elements finis. Si tu patientes 2 mois et quelques je te fourni une reponse generale et mathematiques a ton probleme. Je l'avais deja vu de mon coté, mais ce n'est plus tres frais, et la en plus c'est un vrai cours complet muni d'applications que j'ai par la fac.
La technique c'est de diviser la surface en maillage. Chaque triangle est entouré de trois autres triangles, sauf les triangles sur les bords qui ne partagent leur faces qu'avec deux triangles. Dans la pratique on exprime le probleme en coordonnée barycentrique , ce qui permet de traiter le probleme relativement a la position par rapport au sommet. Si les coefficient sont positifs cela permet par exemple de nous dire que l'on est dans le triangle.

J'aurais préféré une solution à "taille humaine" mais peut-être cela n'est-il pas possible ?

Attention la consigne est de paver le triangle de départ avec des triangles équilatéraux tous de tailles différentes . Je précise aussi que le pavage doit contenir un nombre fini de triangles .

Imod

Imod a écrit:La méthode que j'ai utilisé ( pas très "propre" ) , n'utilise pas plus que la géométrie de collège ) .



J'aurais préféré une solution à "taille humaine" mais peut-être cela n'est-il pas possible ?

Imod

Je vais suivre le système de BQss. On coupe le triangle équilatéral en 4 triangles égaux, tous aussi équilatéraux. On en remplit un d'un triangle très grand (1/2 de côté par rapport au "conteneur"). Il reste donc 3 zones non-comblées. On en regroupe 2 sous la forme d'un trapèze, et on coupe cette même zone en 3. On en remplit un d'un triangle équilatéral, on regroupe les 2 autres et on divise le trapèze encore en 3...
Pour l'autre triangle, on repart du point zéro et on le divise en 4. On en remplit un, etc...

Ca fera, au final, un triangle "presque" rempli (plus y'a d'étapes, plus on remplit). Cependant, je pense que ce n'est pas possible de le couvrir entièrement sans superposer ou avoir des triangles de taille similaire: plus on avance, plus on refait les mêmes étapes...Et plus il reste d'espace non-occupé.

voilà je propose cette construction suivante:
Je prends un nombre

Je découpe le triangle en sous triangle comme sur la figure ci dessus. Un triangle et dans le trapeze ou parallelogramme qui reste je trace plein de triangle équilatéraux identique ayant pour côté le petit côté de ce trapèze ou parallélogramme.

On a ainsi plein de triangles donc tous ont pour côté un nombre qui peut se mettre sous la forme avec p et q dans Q.

Mon algorithme de façon récursive :
je valide un triangle si je n'ai pas de triangle déjà validé ayant le même côté.
Si un triangle a le même côté qu'un triangle déjà validé je refais la même construction que précédement en changeant mon

mes triangles au second tour auront pour côté (p+qa0)(p'+q'a1) avec p,p',q,q' dans Q.

Et ainsi de suite on va tomber sur des triangles ayant pour côté des produits de (p+qa_k)

Si on prends pour les a_n des réels tels que a_n ne puisse être égal à alors ça marche

on peut prendre par exemple où un est la suite des nombres premiers.

Maturin , si j'ai bien compris , ton pavage est composé d'un nombre infini de triangle , ici il en faut un nombre fini . Un exemple avec des carrés :



Imod

PS : j'ai rajouté "fini" dans le texte initial .

merci Imod, d'une part pour avoir précisé l'énoncé et d'autre part pour avoir remis l'exemple des carrés dont tu avais parlé et que je ne retrouvais pas :)

Je viens de trouver une faille dans ma démonstration , je ne sais pas si je vais réussir à la combler , en attendant , on peut considérer le problème comme ouvert .

Imod

Je fais remonter ce défi pour dire que j'ai repris ma démo et que j'ai pu corriger l'imprécision qui me gênait . Pour ceux qui veulent chercher , personnellement j'ai commencé par regarder le plus petit triangle du pavage et les différents types d'assemblage de triangles .

Imod

Une petite piste .

En supposant le pavage réalisé , on peut remarquer que les sommets des triangles se divisent en trois catégories :
Limites ( les sommets du grand triangle ) qui sont sommets d'un seul triangle .
Simples : ils sont sommets de trois triangles .
Doubles : ils sont sommets de six triangles .

A partir de deux triangles adjacents ( un sommet et un côté en commun ) on construit ce que l'on appellera une pièce . Le sommet commun est l'origine de la pièce et le point sur le côté commun l'extémité de la pièce ( la pièce en rouge a pour origine et pour extrémité ) . L'extrémité d'une pièce est un sommet simple on peut donc construire en une unique pièce d'origine utilisant les deux triangles de sommet qui n'appartiennent pas à la pièce originale cette nouvelle pièce est la fille unique ( en jaune sur le dessin ) de l'originale .



Je vous laisse continuer ...

Imod

Dernier indice avant la solution ( je reprends le vocabulaire de mon message précédent ) . Considérer la descendance d'une pièce formée avec le plus petit triangle du pavage .

Imod

Une proposition à vérifier car je n'ai jamais pu voir de solution à ce problème qui est une extension d'un sujet d'olympiade .

On considère une pièce dont l'un des éléments est le plus petit triangle du pavage et on observe sa descendance . On remarquera avant tout qu'une pièce à une fille unique et a au plus une mère . L'ensemble des pièces étant fini , on retrouvera dans la descendance de la première pièce une pièce déjà rencontrée . Plaçons nous au moment de cette première rencontre , chaque pièce ayant au plus une mère , nous sommes revenu au point de départ et la première pièce a une mère , ce qui fait nécessairement apparaître un triangle plus petit que le plus petit , contradiction : voir la figure ( la première pièce est représentée en bleu ). Le problème n'a pas de solution .



Imod

Un long monologue et pas une réponse , j'efface tout demain ?

Imod