Polynômes irréductibles Z/pZ[X]

[Ben314]

... et à démontrer!

Connait tu le Symbole de Legendre ?
Si oui, le résultat est quasi immédiat.
Si non, on peut te donner une indication sur la façon de procéder : il faut montrer que, si deux éléments de Fp ne sont ni l'un ni l'autre des carrés de Fp, alors leur produit est un carré de Fp.

[jlb]

Salut, je connaissais une méthode en passant par (Fp²)*.
J'essaie de trouver ta méthode: soit u et v de Fp qui ne soient pas des carrés de Fp alors (u/p)= -1 [p] et (v/p)=-1 [p] d'où (uv/p)=1 [p] donc il existe t dans Fp tel qu t²=uv .
Après je sèche X...

(En passant, je remarque que lorsque 2 est un carré dans Fp, la factorisation est facile car X^4+1=(X²+1)² -2X²)

[Ben314]

C'est effectivement ce type de constatation qu'il faut faire :
lorsque
lorsque
lorsque
Donc lorsque -1 ou bien 2 ou bien -2 est un carré du corps K le polynôme est factorisable (i.e. non irréductible) dans K[X].
or dans Fp, si ni -1, ni 2 ne sont des carré, alors -2 est forcément un carré.

En fait, dans Fp, il n'y a que deux cas de figure :
- Soit un et un seul des trois nombres -1 , 2 , -2 est un carré et une seule des trois décompositions çi dessus est valable et c'est en fait la décomposition de en facteur irréductible.
- Soit les trois nombres -1 , 2 , -2 sont des carrés et dans ce cas il existe tel que et on a
qui, si on regarde les trois façon qu'il y a de regrouper les termes 2 par 2, donnent les 3 factorisation du début de ce post.

EDIT : Si ça t'amuse, montre qu'en fait, quelque soit , n'est irréductible dans aucun Fp.
Tu peut aussi cherche pour quels le polynôme admet il une racine dans Fp.