Bonjour,
Je pense que deux polynômes irréductibles de R[X,Y] ayant une infinité de racines en commun sont égaux, mais je n'arrive pas à le démontrer. Si ce n'est pas vrai, merci de me donner un contre-exemple.
Ainsi, par exemple, considérons P=X²+Y²-1, polynôme irréductible de R[X,Y] dont les racines sont la trace de son graphe sur le plan de cotte z=0, et sont exactement le cercle unité de centre O et de rayon 1 (couples (cos(x),sin(x)) lorsque x décrit [0,2Pi[ mod 2Pi). Dès lors, je prétends et j'affirme que si un polynôme irréductible Q de R[X,Y] possède une infinité de couples (cos(x),sin(x)) comme racines (a fortiori communes), alors ce ne peut être que P... Verdict ?
Ca m'aiderait déjà, je pense, si j'arrivais à montrer que d°(Q)=d°(P)...
L'idée finale est de montrer que R[X,Y] étant factoriel, si jamais Q' possède une infinité de racines communes avec un certain polynôme P irréductible, alors Q' possède P dans sa décomposition en facteurs premiers.
Merci d'avance.
Cordialement, DedenK.
Egalité de 2 polynômes irréductibles
22 messages
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par dudumath » 22 Mar 2010, 22:18
Si Q(X)=XP(X), alors Q(X) a une infinité de racines communes avec P, et pourtant... Je pense que si tu rajoutes un "strictement" tu arriveras au bon résultat
par dudumath » 22 Mar 2010, 22:22
d'où l'intérêt d'apprendre à lire correctement :D!!!
Désolé :)
Du coup je suis d'accord avec toi
Désolé :)
Du coup je suis d'accord avec toi
par DedenK » 22 Mar 2010, 22:31
En fait, je ne suis pas expert en polynômes à deux indéterminées, loin de là, mais tout à fait modestement, j'imagine que les courbes de zéros dessinées sur le plan de cotte nulle doivent correspondre chacune à un polynôme irréductible et que leur régularité les rend uniques (si l'on connaît une portion d'arc, on en déduit toute la courbe et donc le rapport à un polynôme précis). Ainsi, Q=X^3*Y+Y^3*X+2X²+2Y²-XY-2=(X²+y²-1)*(X*Y+2) possède exactement deux courbes planes de zéros associées chacune et respectivement à l'un et l'autre des deux facteurs irréductibles composant Q : le cercle unité et une hyperbole.
par Finrod » 23 Mar 2010, 01:55
Deux polynômes dans R[X] qui ont leurs racines en commun sont égaux à une constante près.
Pour le cas R[X,Y], on s'en sors avec le thm des fonctions implicites, je pense.
Au pire, on a un point d'accumulation de zéros communs, on applique le tfi en ce point. Par continuité de P(X,Y)-Q(X,Y), il n'y a qu'un nombre fini de x sur la courbe au voisinage du point d'accumulation tels que P et Q ne soient pas égaux.
On se retrouve donc avec un arc en commun, moins un nombre fini de points. Par continuité, il y a égalité sur l'arc entier.
L'égalité est en fait C infinie (vrai sur les dérivée) et elle se prolonge au bord de l'arc par construction. Je ne sais pas si ça correspont bien à la formulation d'un théorème de prolongement, mais logiquement, les deux polynomes ne peuvent être qu'égaux.
J'ai l'impression que mon raisonnement est trop simple pour être juste mais si on étudie les fonctions implicites une par une et qu'on choisi un x dans l'intervalle de définition (de la fonction implicite) correspondant par ex à l'inf (local) des x pour lesquels il y a égalité, il y a égalité en x (C infinie).
On choisit alors une suite convergente de points inférieurs à x où il n'y a pas égalité. Par continuité des polynomes, il ne peut y avoir égalité au point limite et on a une absurdité.
Donc Il y a égalité à gauche de x, sauf en au plus un nombre de points, que l'on peut eux mêmes éliminer. Donc il y a égalité au voisinage de x et x ne peut être l'inf.
L'inf est finalement la borne inf de l'intervalle de définition de la fonction implicite. Idem pour le sup.
Bon, c'est pas très propre comme suggestion.
ça reprend un peu l'idée du prolongement des solutions d'équadiff en solutions maximales.
Pour le cas R[X,Y], on s'en sors avec le thm des fonctions implicites, je pense.
Au pire, on a un point d'accumulation de zéros communs, on applique le tfi en ce point. Par continuité de P(X,Y)-Q(X,Y), il n'y a qu'un nombre fini de x sur la courbe au voisinage du point d'accumulation tels que P et Q ne soient pas égaux.
On se retrouve donc avec un arc en commun, moins un nombre fini de points. Par continuité, il y a égalité sur l'arc entier.
L'égalité est en fait C infinie (vrai sur les dérivée) et elle se prolonge au bord de l'arc par construction. Je ne sais pas si ça correspont bien à la formulation d'un théorème de prolongement, mais logiquement, les deux polynomes ne peuvent être qu'égaux.
J'ai l'impression que mon raisonnement est trop simple pour être juste mais si on étudie les fonctions implicites une par une et qu'on choisi un x dans l'intervalle de définition (de la fonction implicite) correspondant par ex à l'inf (local) des x pour lesquels il y a égalité, il y a égalité en x (C infinie).
On choisit alors une suite convergente de points inférieurs à x où il n'y a pas égalité. Par continuité des polynomes, il ne peut y avoir égalité au point limite et on a une absurdité.
Donc Il y a égalité à gauche de x, sauf en au plus un nombre de points, que l'on peut eux mêmes éliminer. Donc il y a égalité au voisinage de x et x ne peut être l'inf.
L'inf est finalement la borne inf de l'intervalle de définition de la fonction implicite. Idem pour le sup.
Bon, c'est pas très propre comme suggestion.
ça reprend un peu l'idée du prolongement des solutions d'équadiff en solutions maximales.
par DedenK » 23 Mar 2010, 08:24
Hum... ça me semble pas mal. Je vais regarder ça de plus près encore. Merci beaucoup.
PS : bien entendu, quand je parlais d'égaux, c'était plutôt "associés"... :-)
PS : bien entendu, quand je parlais d'égaux, c'était plutôt "associés"... :-)
par mathelot » 23 Mar 2010, 08:46
bonjour,
le polynome XY a une infinité de racines (couples de réels (0,y) et (x,0))
et n'est pas le polynôme nul
du coup, est-ce que X+1+XY et Y+2+XY constituent un contre-exemple ?
le polynome XY a une infinité de racines (couples de réels (0,y) et (x,0))
et n'est pas le polynôme nul
du coup, est-ce que X+1+XY et Y+2+XY constituent un contre-exemple ?
par DedenK » 23 Mar 2010, 09:30
Re,
Pour répondre à Finrod : j'ai juste une question... Où utilise-t-on l'irréductibilité des deux polynômes ? Parce qu'on sait que c'est faux s'ils ne le sont pas.
Cordialement, DedenK.
Pour répondre à Finrod : j'ai juste une question... Où utilise-t-on l'irréductibilité des deux polynômes ? Parce qu'on sait que c'est faux s'ils ne le sont pas.
Cordialement, DedenK.
par Ben314 » 23 Mar 2010, 10:10
Salut,
Est ce qu'on ne pourrait pas regarder le pgcd(P,Q) dans l'anneau principal K(X)[Y] où K(X) est le corps des fractions rationelles en X ?
Est ce qu'on ne pourrait pas regarder le pgcd(P,Q) dans l'anneau principal K(X)[Y] où K(X) est le corps des fractions rationelles en X ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 23 Mar 2010, 10:38
Bon, arretez mois si je dit une connerie...
Soient P et Q deux polynômes premiers entre eux dans K[X,Y] (factoriel).
Ils sont encore premiers entre eux dans K(X)[Y] (principal) donc il existe deux éléments a et b de K(X)[Y] tels que a.P+b.Q=1.
On peut alors trouver un élément f de K[X] tel que A=f.a et B=f.b soient dans K[X,Y] et on a donc A.P+B.Q=f ce qui montre que, si (x,y) est une racine commune de P et Q alors x est une racine de f.
Il n'y a donc qu'un nombre fini de tels x. En procédant de même sur K(Y)[X] on en déduit que P et Q n'ont qu'un nombre fini de racines communes.
Soient P et Q deux polynômes premiers entre eux dans K[X,Y] (factoriel).
Ils sont encore premiers entre eux dans K(X)[Y] (principal) donc il existe deux éléments a et b de K(X)[Y] tels que a.P+b.Q=1.
On peut alors trouver un élément f de K[X] tel que A=f.a et B=f.b soient dans K[X,Y] et on a donc A.P+B.Q=f ce qui montre que, si (x,y) est une racine commune de P et Q alors x est une racine de f.
Il n'y a donc qu'un nombre fini de tels x. En procédant de même sur K(Y)[X] on en déduit que P et Q n'ont qu'un nombre fini de racines communes.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Doraki » 23 Mar 2010, 10:50
En effet ça peut aider.
Si on suppose P et Q irréductibles et non associés,
En regardant le pgcd de P et Q dans K(X)[Y], qui doit être dans K(X), ça doit bien impliquer que intersecté avec K[X] = où R est dans K[X], non nul.
R a seulement un nombre fini de racines donc il existe une racine a de R pour laquelle P et Q ont une infinité de racines de la forme (a,y).
Mais alors les images de P et Q dans K[X,Y]/(X-a) ont une infinité de racines, donc sont nulles, donc P et Q sont (X-a) à un inversible près.
Si on suppose P et Q irréductibles et non associés,
En regardant le pgcd de P et Q dans K(X)[Y], qui doit être dans K(X), ça doit bien impliquer que
R a seulement un nombre fini de racines donc il existe une racine a de R pour laquelle P et Q ont une infinité de racines de la forme (a,y).
Mais alors les images de P et Q dans K[X,Y]/(X-a) ont une infinité de racines, donc sont nulles, donc P et Q sont (X-a) à un inversible près.
par ffpower » 23 Mar 2010, 11:46
L argument de Ben marche directement: si P et Q sont irréductibles non associés, alors ils sont premiers entre eux et donc n'ont qu'un nombre fini de racines communes par son argument
Et je pense qu'avec ce genre d'idée, on doit aussi pouvoir prouver que si K est algébriquement clos ( et p-e de carac nulle..), si P(x,y)=0 <=> Q(x,y)=0 alors P=Q
Et je pense qu'avec ce genre d'idée, on doit aussi pouvoir prouver que si K est algébriquement clos ( et p-e de carac nulle..), si P(x,y)=0 <=> Q(x,y)=0 alors P=Q
par DedenK » 23 Mar 2010, 12:51
Merci à tous ! Vous êtes excellents !! Bravo et encore merci ! ;-)
Je vais essayer de tirer un bel exo de cette démonstration... :-)
++, DedenK.
Je vais essayer de tirer un bel exo de cette démonstration... :-)
++, DedenK.
par Ben314 » 23 Mar 2010, 13:17
Je pense que oui, mais il faut supposer P et Q sans facteurs carrés pour éviter P=X+Y et Q=(X+Y)² qui ont les mêmes "couples de racines" dans K².ffpower a écrit:Et je pense qu'avec ce genre d'idée, on doit aussi pouvoir prouver que si K est algébriquement clos ( et p-e de carac nulle..), si P(x,y)=0 Q(x,y)=0 alors P=Q
Peut on repérer les P avec des facteurs carrés en calculant (algo. d'euclide) un pgcd de P et de dP/dY dans K(X)[Y] et/ou un pgcd de P et de dP/dX dans K(Y)[X] ?
EDIT : Je pense aussi que l'hypothèse "caractéristique nulle" n'est peut-être pas indispensable, par contre il faut que K soit infini (sinon, c'est déjà faux pour les poly d'une seule variable). Sauf que tout corps algébriquement clos est forcément infini...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Finrod » 23 Mar 2010, 15:25
Je vais réponde pour l'irréductibilité.
La méthode de Ben est cent fois plus rigoureuse et mieux, bien entendu.
Les zéro d'un polynome irréductible forment une variété C infinie. Si c'est plus irréductible, on perd en général le C infini.
Je n'ai pas trouvé de source sure pour le vérifier (je suis algébriste pur, à la base) mais ça sonne juste.
Exemple X²+Y²-1 : le cercle, variété C infinie
X(X²+Y²-1) : Le cercle, plus l'axe des abscisse. les points x=1 et x=-1 pose pb.
La méthode de Ben est cent fois plus rigoureuse et mieux, bien entendu.
Les zéro d'un polynome irréductible forment une variété C infinie. Si c'est plus irréductible, on perd en général le C infini.
Je n'ai pas trouvé de source sure pour le vérifier (je suis algébriste pur, à la base) mais ça sonne juste.
Exemple X²+Y²-1 : le cercle, variété C infinie
X(X²+Y²-1) : Le cercle, plus l'axe des abscisse. les points x=1 et x=-1 pose pb.
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