Mimosa a écrit:Bonjour
Si est petit, le plus rapide est d'écrire les réductibles (produits de polynômes de degré strictement inférieur) et de chercher qui n'est pas apparu. On peut avoir une minoration du nombre des réductibles. Si est plus grand, il existe des méthodes, comme le critère d'Eisenstein par exemple, mais de toute façon c'est compliqué.
Un polynôme de degré 3, est réductible si et seulement si il a au moins une racine dans . Je te laisse vérifier que convient.
Ben314 a écrit:Salut,
Sur il y a une façon simple de trouver les irréductibles de degré donné ou de tester si un polynôme est irréductible vu que, si , le polynôme est le produit de tout les polynôme irréductible de dont le degré divise .
En particulier un polynôme de degré est irréductible ssi il divise .
Non, il y en a 8 : c.f. le post précédent que j'ai complété.yoshi13 a écrit:...en td j'ai remarqué que beaucoup d'élèves balançaient les 3 ( je crois qu'ils sont 3 ) polynômes irréductibles...
Ben314 a écrit:Si tu veut, je te le fait sur F3 pour que tu voit bien que c'est vraiment pas les calculs qui sont long.
On cheche donc tout les tels que , et .
(1) Si on doit avoir et :
(2) Si on doit avoir et :
Lostounet a écrit:Si X^6 + X + 1 était réductible, on pourrait l'écrire comme produit de polynômes de degrés inférieurs. J'ai testé les produits suivants (bien entendu tout est dans Z/2Z[X]):
(x^3 + x + 1)^2 = x^6 + x^2 + 1
(x^3 + x^2 + 1)^2 = x^6 + x^4 + 1
(x^2 + x + 1)^3 = x^6 + x^5 + x^3 + x + 1
(x^3 + x + 1)(x^3 + x^2 + 1) = 1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6
Mais cela me parait insuffisant vu qu'il faut aussi voir les degrés 4 (irréductibles!) par exemple et faire des produits avec des degrés 2 pour tester...Il doit y avoir autrement.
Un polynôme de degré 2 est irréductible ssi il est sans racines donc c'est les tel que (dans F2, équivaut à ) et .yoshi13 a écrit:déterminer les polynômes irréductibles de degré 2 dans F2
Idem pour le degré 3 : c'est les tel que et .yoshi13 a écrit:déterminer les polynômes irréductibles de degré 3 dans F2
(1) Comme le polynôme n'a pas de facteur de degré 1.yoshi13 a écrit:en déduire que est irréductible sur F2
Ben314 a écrit:Un polynôme de degré 2 est irréductible ssi il est sans racines donc c'est les tel que (dans F2, équivaut à ) et .yoshi13 a écrit:déterminer les polynômes irréductibles de degré 2 dans F2
Il y en a donc un seul :Idem pour le degré 3 : c'est les tel que et .yoshi13 a écrit:déterminer les polynômes irréductibles de degré 3 dans F2
Il y en a donc deux : et(1) Comme le polynôme n'a pas de facteur de degré 1.yoshi13 a écrit:en déduire que est irréductible sur F2
(2) donc n'est pas divisible par et cela prouve que n'admet pas de facteur irréductible de degré 2.
(3) et donc n'est divisible ni par , ni par et donc n'admet aucun facteur irréductible de degré 3.
Et c'est fini vu que s'il était factorisable un des facteurs au moins devrait être de degré inférieur ou égal à 3.
Mimosa a écrit:Rebonjour
Puisque le sujet à l'air d'intéresser, voici un exemple que j'aime bien. Le polynôme est réductible dans tous les corps finis!
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