Bonjour,
Je suis nouvelle sur le forum... (qq soucis ac le "tex" , désolé! )
Voilà mon problème !
Ce polynome est-il irréductible ?
-X^3 + X^2 - X - 1 dans l'anneau Z/3Z[X] , dans l'anneau Z[X]
J'ai essayé avec le critere d'Eisenstein... ça ne donne rien...
Bientot l'examen...( aie aie! )
Merci de m'aider !
Polynomes irréductibles
26 messages
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par Emilie62 » 19 Mai 2007, 21:59
Sans maitriser le language tex... (tjs) Désolé
Si tu as un polynome a0 + a1*x + ... an* x^n dans l'anneau A[X]
p irréductible dans A
si p divise tous les ai sauf an, si p² ne divise pas a0 et si p ne divise pas an
ALORS le polynome est irrédcutible dans l'anneau frac(A)[X]
Mais si le polynome est primitif en plus, le poly. est irréductible ds A[X]
Mais dans ce cas ça ne donne rien...
Tu penses pouvoir m'aider!?
Si tu as un polynome a0 + a1*x + ... an* x^n dans l'anneau A[X]
p irréductible dans A
si p divise tous les ai sauf an, si p² ne divise pas a0 et si p ne divise pas an
ALORS le polynome est irrédcutible dans l'anneau frac(A)[X]
Mais si le polynome est primitif en plus, le poly. est irréductible ds A[X]
Mais dans ce cas ça ne donne rien...
Tu penses pouvoir m'aider!?
par yos » 19 Mai 2007, 22:07
Si un polynôme de degré 3 est réductible, alors il possède une racine. Il te suffit donc de vérifier que ni 0, ni 1, ni 2 ne sont racines.
par alben » 19 Mai 2007, 22:09
Bonsoir,
Tu peux utiliser le critère d'Eisenstein en translatant avec x=z+1 puis p=2
Tu peux utiliser le critère d'Eisenstein en translatant avec x=z+1 puis p=2
par Emilie62 » 19 Mai 2007, 22:10
Merciii beaucoup !
Ta réponse c'est dans l'anneau Z/3Z[x] ...?
Mais si je veux le savoir dans Z[x] ?
Tu as une réponse ?
Ta réponse c'est dans l'anneau Z/3Z[x] ...?
Mais si je veux le savoir dans Z[x] ?
Tu as une réponse ?
par yos » 19 Mai 2007, 22:16
Dans Z[X], c'est super simple, car là aussi il te faut une racine entière et elle va diviser le coef constant du polynôme donc c'est 1 ou -1 et on vérifie tout de suite que 1 et -1 sont pas racines.
par Emilie62 » 19 Mai 2007, 22:24
Ok...
Juste une précision, dans le cas de l'anneau Z/3Z[x]... on essaye les 3 racines 0,1,2 ... Peux tu justifier? Je ne suis pas sure de mon raisonnement.
Encore merci !
Juste une précision, dans le cas de l'anneau Z/3Z[x]... on essaye les 3 racines 0,1,2 ... Peux tu justifier? Je ne suis pas sure de mon raisonnement.
Encore merci !
par alben » 19 Mai 2007, 22:25
Emilie62 a écrit:Alben, je ne comprends pas...
Tu peux dévellopper...
MERCI BCP!
La réponse de yos est beaucoup plus simple mais si tu tiens à utiliser le critère d'Eisenstein, tu as le droit de faire un changement de variable du type X=Z+1 et ton polynome devient (sauf erreur)
et avec p=2...
par yos » 19 Mai 2007, 22:28
Emilie62 a écrit:dans le cas de l'anneau Z/3Z[x]... on essaye les 3 racines 0,1,2 ... Peux tu justifier?
Qu'est-ce qui bloque exactement?
Tu es d'accord que si P est réductible, tu auras P=QR et Q sera de degré 1, R de degré 2 (ou le contraire), donc P aura une racine dans l'anneau (que ce soit Z ou Z[X])?
par Emilie62 » 19 Mai 2007, 22:30
Je pensais de pas savoir me servir de Latex ! Visiblement, il ya un problème...
Moi aussi il me mettait f(x) = x² , sans raison...
Pourquoi puis je remplacer x par z-1 ? Je peux le faire dans les deux anneaux ?
Moi aussi il me mettait f(x) = x² , sans raison...
Pourquoi puis je remplacer x par z-1 ? Je peux le faire dans les deux anneaux ?
par Emilie62 » 19 Mai 2007, 22:34
yos a écrit:Qu'est-ce qui bloque exactement?
Tu es d'accord que si P est réductible, tu auras P=QR et Q sera de degré 1, R de degré 2 (ou le contraire), donc P aura une racine dans l'anneau (que ce soit Z ou Z[X])?
Oui je comprends cela ! Mais pourquoi les seules racines possibles sont 0,1 ou 2. C'est parce qu'on est dans l'anneau
par alben » 19 Mai 2007, 22:37
ça a l'air de marcher maintenant.
Oui tu as le droit à condition que ce soit une simple translation, pas question de poser Z=aX+b avec a#1. Les conclusions sont valables dans les deux anneaux à condition que p soit premier dans les deux (avec 2, ça marche bien)
Oui tu as le droit à condition que ce soit une simple translation, pas question de poser Z=aX+b avec a#1. Les conclusions sont valables dans les deux anneaux à condition que p soit premier dans les deux (avec 2, ça marche bien)
par Emilie62 » 19 Mai 2007, 22:46
alben a écrit:ça a l'air de marcher maintenant.
Oui tu as le droit à condition que ce soit une simple translation, pas question de poser Z=aX+b avec a#1. Les conclusions sont valables dans les deux anneaux à condition que p soit premier dans les deux (avec 2, ça marche bien)
Ok ! Merci pour cette méthode!!!
Dans l'anneau
par yos » 19 Mai 2007, 22:50
Emilie62 a écrit:Oui je comprends cela ! Mais pourquoi les seules racines possibles sont 0,1 ou 2. C'est parce qu'on est dans l'anneau???
Dans Z/3Z, il y a trois éléments qu'on peut noter 0,1,2 ou bien -1,0, 1 si tu préfères , ou encore les mêmes avec une barre sur la tête pour montrer que ce sont des classes d'entiers.
par Emilie62 » 19 Mai 2007, 23:10
yos a écrit:Dans Z[X], c'est super simple, car là aussi il te faut une racine entière et elle va diviser le coef constant du polynôme donc c'est 1 ou -1 et on vérifie tout de suite que 1 et -1 sont pas racines.
Si tu as encore quelques mintutes à me consacrer, pourquoi dit tu que la racine doit diviser le coeff constant du polynome ?
par Emilie62 » 19 Mai 2007, 23:19
Dernière question, si )
est irréductible dans 
, on ne px pas conclure qu'il l'est aussi ds 
par Daniel-Jackson » 19 Mai 2007, 23:25
Emilie62 a écrit:Si tu as encore quelques mintutes à me consacrer, pourquoi dit tu que la racine doit diviser le coeff constant du polynome ?
De l'expression factorisée d'un polynome quand tu developpe le terme constant est le produit des racines .... avec le coeff dominant
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