Polynomes irréductibles dans C[x,y]

[fahr451]

Tu as montré P non max => P réductible
Donc P irréductible => P max ( c'est la contraposée, je crois ?)

oui c'est ça et valable dans tout anneau principal

[Emilie62]

non c'est juste ce qu'il a dit , il le fait par l'absurde .

Oui il suppose P irréductible et veut montrer P max
Il suppose par l'absurde P non max... OK!!!!
Je comprends vite mais il me faut du temps! loool

Pour revenir au critère d'eisenstein pour mes 2 derniers polynomes , c'est bon ??

[Emilie62]

Je tente kk chose , tanpis si je suis ridicule !
Pour
Je prends le polynome en x à coeff dans C[y].
Tout polynome de degré 2 a au moins une racine dans C donc P est réductible ?

A vous !
Merci !

[Daniel-Jackson]

Pour revenir au critère d'eisenstein pour mes 2 derniers polynomes , c'est bon ??

Oui ça marche parce que le critère se génralise dans n'importe quel anneau K[X] (ou K[Y]) avec K commutatif .

[Daniel-Jackson]

Je tente kk chose , tanpis si je suis ridicule !
Pour
Je prends le polynome en x à coeff dans C[y].
Tout polynome de degré 2 a au moins une racine dans C donc P est réductible ?

A vous !
Merci !

Non je ne pense pas parce que rien ne te dit que la racine (en X) que tu obtient est fonction polynomiale en Y .
i magine tes racines sont X1 = 1/(Y²+1) ... X2 pareil avec des expression pas sympatiques . T'auras bien une factorisation formelle mais qui ne sera pas une factorisation polynomiale .

[Emilie62]

Donc je retente ma chance , c'est gartuit et le ridicule ne tue pas!

donc si p (poly en y) est reductible il s'ecrit a, b ,c ,d ,e sont dans C[x] ac = 1 donc y=-b/a est racine!
la racine doit diviser le terme constant x^2 (car ae = x^2 )
a = On les essaye! ca ne focntionne pas!
Donc P irréductible !

A toi DJ !

[Daniel-Jackson]

Oui je pense que dans ce cas particulier on s'en sort mais je ne te recommanderai pas de raisonner comme ça .
Parce que là en écrivant y=-b/a tu t'expose à des fractions rationnelles, qui ne sont pas dans C[X] . Car il ne faut pas oublier que les racines tu les cherches dans C[X] .
Mais je pense que dans le cas présent oui le polynome est irréductible .

T'as pas vu ce que c'est que le résultant et discriminant en cours ?

[Emilie62]

Oui on les a vu en fin de programme mais elle ne sont pas au sujet de l'examen donc je pensais les laisser tomber ... ( Pas bien ! )
Quelle est la meilleure façon ?! Aide moi stp !


Pourquoi les fractions rationnels ne sont pas ds C ?

[Rafar]

est irréductible car :
Prenons ce polynome comme un polynome en Y à coeff dans C[X].
Si le polynome est réductible (+ de degré 3 ), il a une racine, celle ci divise le terme constant qui est X . Donc la racine est soit 1 soit -1 soit X soit -X. ABSURDE.

Pour en revenir à tes histoires où tu as un polynôme P(X) dans A[X] (où A est un anneau commutatif intègre) et où tu raisonnes en disant un truc du genre "P est de degré 2 ou 3 donc si il est réductible c'est qu'il a une racine dans A qui doit forcément diviser le terme constant de mon polynôme et je teste les racines possibles" il faut que tu fasses un peu attention, ce n'est pas aussi simple que ça : ça ne marche que si A est un corps.
Par exemple, le polynôme est réductible dans pourtant il n'admet aucune racine dans
J'ai l'impression que tu ne peux faire ce genre de raisonnement que si le coef dominant de ton polynôme est inversible dans A.

Pour ton exemple , tu peux dire qu'il est de degré 2 en X : donc s'il est réductible dans (ici A = ), il s'écrit comme produit de 2 polynômes de degré 1 en X :
=
où sont dans
Tu as donc et et
Quitte à factoriser par un nombre complexe, tu peux supposer que et ensuite tu as 4 cas à examiner pour et :

1) et
2) et
3) et
4) et

En raisonnant avec tu peux éliminer tes 4 cas un par un.

C'est long et pas très élégant comme méthode, mais ça a l'avantage d'être élémentaire (je trouve qu'employer Eisenstein pour du degré 2 c'est un peu utiliser un bazooka pour écraser un moustique)

[Rafar]

Désolé, quand on écrit en Tex, je me rends compte que a () ressemble beaucoup à alpha () ce qui rend mon message un peu confus :triste:

[Daniel-Jackson]

Pour en revenir à tes histoires où tu as un polynôme P(X) dans A[X] (où A est un anneau commutatif intègre) et où tu raisonnes en disant un truc du genre "P est de degré 2 ou 3 donc si il est réductible c'est qu'il a une racine dans A qui doit forcément diviser le terme constant de mon polynôme et je teste les racines possibles" il faut que tu fasses un peu attention, ce n'est pas aussi simple que ça : ça ne marche que si A est un corps.
Par exemple, le polynôme est réductible dans pourtant il n'admet aucune racine dans
J'ai l'impression que tu ne peux faire ce genre de raisonnement que si le coef dominant de ton polynôme est inversible dans A.

Pas faux en effet si tu prends un produit d'irréductibles par exemple et qui n'ont pas de racines .

Je réfléchis pour voir s'il y'a une méthode plus efficace pour tester l'irréductibilité Emilie .

[Emilie62]

Pas faux en effet si tu prends un produit d'irréductibles par exemple et qui n'ont pas de racines .

Je réfléchis pour voir s'il y'a une méthode plus efficace pour tester l'irréductibilité Emilie .

Oui merci... Je commence à désespérer ! Même si je comprends mes 1eres erreurs...
C'est vrai que la méthode de Rafar est bonne mais un peu lourde !

C'est grave de tuer des mouches avec un bazooka ? Le correcteur pourrait m'en vouloir ? Parce que des fois, c'est rapide ....

[Rafar]

Oui merci... Je commence à désespérer ! Même si je comprends mes 1eres erreurs...
C'est vrai que la méthode de Rafar est bonne mais un peu lourde !

C'est grave de tuer des mouches avec un bazooka ? Le correcteur pourrait m'en vouloir ? Parce que des fois, c'est rapide ....

lol, non c'est pas grave :we:

C'est juste que comme ça fait longtemps que je n'ai pas regardé ces histoires d'irréductibilité je ne me rappelle plus de l'énoncé du critère d'Eisenstein :hum: donc je suis obligé de faire autrement pour avoir une réponse !

[Emilie62]

Rafar, je ne comprends pas comment tu trouves les 4 cas (b,d) ...

[Rafar]

J'utilise avec b et d dans

[Emilie62]

J'utilise avec b et d dans

Oui je pensais que tu utilisais et mais tu t'en sert pour montrer que c'est impossible !
Ta méthode me plait ! Merci beaucoup !

Nvel question : :stupid_in
Quelle est la différence entre le pgcd de deux poly dans et ?

Merci pour ton aide !

[Daniel-Jackson]

Nvel question : :stupid_in
Quelle est la différence entre le pgcd de deux poly dans et ?

Merci pour ton aide !

Je ne vois pas pourquoi tu veux comparer les deux choses. Un pgcd dans Z[X] en est évidemment un dans Q[X], mais je ne vois rien de plus . On sait qu'à n'importe quel polynome dans Q[X] on lui associe un polynome de Z[X] à un coefficient près ( on mulitplie par le ppcm des dénominateurs des coefficients) .
En dehors du fait qu'un polynome de Z[X] irréductible est aussi irréductible sur Q[X], je ne vois pas vraiment le lien entre les deux pgcd . Y'a des cas où ça peut être le même mais bon je ne pense pas qu'on peut en tirer une généralité .

Sinon pour l'irréductibilité , je ne pense pas non plus qu'il y'ait UNE METHODE , c'est bête de dire ça mais pouyr moi ça se fait au "feeling" . Mais je te conseille de regarder le polynome en la variable qui a le plus petit degré. Et puis en raisonnant avec le degré tu dois pouvoir aboutir . Mais en général quand c'est vraiment compliqué , on te guide toujours dans l'exo .
Mais n'hésite pas à regarder le polynome en une variable et essayer de faire des p'tis raisonnenment comme l'a suggéré Rafar . Et oui Eiseinstein aussi j'oubliais

Si on te demande par exemple de montrer que deux polynomes à 2 variables sont premiers entre eux , tu peux penser à la division euclidienne suivant une variable et etc.....
Mais le résulatnt et le discriminant réponde à cette question en général.

Bref , avec le peu de connaisances que j'ai en maths , je ne connais pas d'arme sûre pour flinguer tous les irréductibles lool.

[Rafar]

Quelle est la différence entre le pgcd de deux poly dans et ?

Merci pour ton aide !

Encore une fois, mes souvenirs sont lointains :hum: et avec une question comme celle-là, on commence à entrer en terrain marécageux où je ne suis plus trop sûr de moi...

Ce qui me paraît clair (?) c'est que le pgcd de 2 polynômes dans A[X] ne peut être défini de façon satisfaisante que modulo la multiplication par un élément inversible de A.
Donc dans , tu peux dire que le pgcd de et de est ou ou bien ou bien etc... alors que dans tu n'as que 2 réponses possibles qui sont et

Regarde dans ton cours la définition du pgcd de ton prof : peut-être dit-il que le pgcd dans est l'unique polynôme unitaire de plus haut degré t.q. .... alors que dans c'est l'unique polynôme primitif ( ie le pgcd des coef vaut 1) de plus haut degré à coef dominant positif t.q. ....

[Emilie62]

Le PGCD de est X-1 dans
Et dans ???
C'est le même !

[Rafar]

En dehors du fait qu'un polynome de Z[X] irréductible est aussi irréductible sur Q[X], je ne vois pas vraiment le lien entre les deux pgcd . Y'a des cas où ça peut être le même mais bon je ne pense pas qu'on peut en tirer une généralité .

Il me semble me rappeler que si P est dans et que avec Q et R dans alors
où et avec et polynômes de

Quelqu'un peut-il confirmer ou infirmer SVP ? :help: (dans mon souvenir, il y a une histoire de contenant et un lemme de Gauss sur les contenants à montrer)

Si ce que je raconte est vrai alors le pgcd dans et dans sont égaux à la multiplication par un entier près.

J'espère ne pas raconter trop de bêtises...