Polynomes irréductibles dans f2[Z], f3[Z]

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absolut-diabolik
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Polynomes irréductibles dans f2[Z], f3[Z]

par absolut-diabolik » 18 Jan 2011, 14:44

Bonjour,

Comment on fait pour donner une liste de polynomes iiréductibles d'un certain degré (inférieur à 3) dans F2[Z] et F3[Z]?

Je n'ai trouvé la méthode nulle part sur le net ! :mur:



Nightmare
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par Nightmare » 18 Jan 2011, 14:49

Salut,

Eh bien, des polynômes du second degré dans F2[Z] tu n'en as pas beaucoup (on a seulement 2 coefficients, 0 et 1). Tu peux en dresser la liste et regarder ceux qui sont irréductibles. Plus astucieusement, les polynômes réductibles étant ceux qui se décompose en produit PQ, on peut dresser la liste de tous les PQ pour P et Q du premier degré et obtenir alors la liste de tous les polynômes réductibles du second degré, donc a fortiori la liste des polynômes irréductibles. Même chose pour le degré 3 et pour F3[Z].

absolut-diabolik
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par absolut-diabolik » 18 Jan 2011, 14:52

Donc on a comme coefficient 0 et 1 dans F2 donc aX^2+bX+c avec a,b et c égale à 0 ou à 1 c'est ça (pour le degré 2) ??
après on regarde ce qui sont irréductibles ... et d'ailleurs comment on sait qu'il sont iiréductibles dans Fé( c'est la même métho de que dans R)

Nightmare
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par Nightmare » 18 Jan 2011, 14:55

Je t'ai dit, le plus "simple" est d'effectuer tous les produits PQ pour P et Q du premier degré ce qui fournira exactement la liste de tous les polynômes réductibles du second degré. A fortiori, un polynôme qui ne sera pas dans cette liste sera irréductible.

Les polynômes du premier degré sont X et X+1 donc les polynômes réductibles de degré 2 dans F2 sont X², X(X+1)=X²+X et (X+1)²=X²+1. Le seul polynôme irréductible de degré 2 est donc X²+X+1

absolut-diabolik
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par absolut-diabolik » 18 Jan 2011, 15:01

Ok j'ai compris et pour F3 comment ça se passe?

Nightmare
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par Nightmare » 18 Jan 2011, 15:03

Exactement de la même façon ! On effectue les produits PQ pour P et Q du premier degré, à savoir X, X+1 et X-1.

absolut-diabolik
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par absolut-diabolik » 18 Jan 2011, 15:06

Mais X²+1 est irréductible aussi nan ? dans F2?

Doraki
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par Doraki » 18 Jan 2011, 15:09

si tu l'as pas obtenu dans la liste des polynômes réductibles, alors oui il est irréductible.

*mode embrouilleur*

Et puis dans F3[Z], l'indéterminée s'appelle Z et pas X, ton polynôme c'est Z²+1.

Dans F2[Z], (Z+1)*(Z+1) = Z²+1 donc Z²+1 est dans la liste des polynômes réductibles de F2[Z]

Nightmare
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par Nightmare » 18 Jan 2011, 15:09

diabolik > Oui (dans F3 mais pas dans F2) et alors? Quel est le problème?

 

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