Polynomes irréductibles

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Daniel-Jackson
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par Daniel-Jackson » 20 Mai 2007, 00:32

Emilie62 a écrit:Dernière question, si est irréductible dans , on ne px pas conclure qu'il l'est aussi ds


Si bien sûr ; Tu raisone par l'absurde .

s'il n'était pas irréductible dans Z[X] , il peut donc se factoriser dans Z[X] et tu ploge cette factorisation modulon n et t'auras une expression facorisée modulo n



Emilie62
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par Emilie62 » 20 Mai 2007, 00:34

Daniel-Jackson a écrit:De l'expression factorisée d'un polynome quand tu developpe le terme constant est le produit des racines .... avec le coeff dominant


Biensûr... (on dira que c'est la fatigue qui m'a fait passé à coté)
Merci Daniel-Jackson, Yos et Alben !
Aurevoir! :dodo:

yos
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par yos » 20 Mai 2007, 10:49

Emilie62 a écrit:Si tu as encore quelques mintutes à me consacrer, pourquoi dit tu que la racine doit diviser le coeff constant du polynome ?


Si a est une racine entière de P, alors et comme a divise le premier membre, il divise aussi le second.
Ce que dit Daniel Jackson est plus compliqué et nécessite de supposer que toutes les racines sont entières.

Sinon pour irréductible sur Z/nZ entraîne irréductible sur Z, DJ t'a tout dit.

Dernière remarque : la technique de la translation pour appliquer Eisenstein est classique mais c'est un peu "gros" pour un polynôme de degré 3.

Daniel-Jackson
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par Daniel-Jackson » 20 Mai 2007, 11:17

yos a écrit:Si a est une racine entière de P, alors et comme a divise le premier membre, il divise aussi le second.
Ce que dit Daniel Jackson est plus compliqué et nécessite de supposer que toutes les racines sont entières.



Non pas forcément qu'elles soient toutes entières. Quelque soit le nombre de racines entières , à partir du moment où t'en as une , tu as également une factorisation dans Z[X] (division euclidienne) . Et donc ton polynome se factorisera comme un produit de polynome avec une certaine puissanec et des facteurs éventuellement irréductible qui comportent eux même un terme constant. Et quand tu vas déveloper , le terme constant que tu obtiendra sera quand même un multiple du produit des racines . En fait ce terme constant sera un produit dont les facteurs sont les racines , le coeff dominant et les termes constants des facteurs irréductibles qui apparaissent dans la factorisation.
Bref dans tous les cas , les racines diviseront quand même le terme constant .

yos
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par yos » 20 Mai 2007, 11:29

Oui je suis d'accord que ça marche maisc'est moins simple.

Le résultat à connaître est le suivant :
si P est à coef entiers et possède une racine rationnelle p/q, alors p divise le coef constant de P et q divise le coef dominant de P.

C'est parfaitement évident (je le fait en terminale spé math en exercice) et c'est un lemme très utile pour les polynômes mais surtout pour les questions d'irrationnalités.

Daniel-Jackson
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par Daniel-Jackson » 20 Mai 2007, 11:45

yos a écrit:Le résultat à connaître est le suivant :
si P est à coef entiers et possède une racine rationnelle p/q, alors p divise le coef constant de P et q divise le coef dominant de P.


Je pense que c'est du lemme de Gauss en utlisant le fait qu'une fraction tu l'écris sous forme irréductibe , et donc p et q sont premiers entre eux , non ?

Enfin pour etre plus précis tu traduit le P (p/q) = 0 et tu renvoie le terme constant de la'utre côté et hop on multipli par q à la pussance "le degré de P" ...

 

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