Questions de cours sur les lois internes, groupes, anneaux e

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 11 Nov 2009, 17:28

Nightmare a écrit:Quid de l'intersection?

L'intersection de A et B ?
Eh bien je vais essayer de raisonner "naturellement". Si A et B sont des sous-groupes de G, alors leur intersection me donne au minimum e, c'est à dire l'élément neutre de G ? Et au maximum ça devient un réunion et donc G entier ?

Ça me paraît bizarre.

Tu me demandes donc si l'intersection de deux sous-groupes de G est un sous groupe de G.
Dans le cas où l'intersection est minimale je pense que oui puisque on a l'élément neutre. Mais dans le cas où cette intersection est maximale ça me fait pareil qu'une union non ?



Nightmare
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par Nightmare » 11 Nov 2009, 17:31

Il y a un problème de niveau, le cas de l'intersection est plus simple que celui de la réunion, pas normal que tu bloques sur le premier et pas le second !

Je ne comprends pas ton "au maximum ça devient une réunion" ?

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 11 Nov 2009, 17:32

Ben parce que, si l'intersection ne contient qu'un élément c'est le neutre de G, on est d'accord ?

Nightmare
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par Nightmare » 11 Nov 2009, 17:34

Oui et alors?

kazeriahm
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par kazeriahm » 11 Nov 2009, 17:34

L'élément neutre est toujours dans l'intersection de deux sous groupes d'un groupe G.

Essaye de montrer que A inter B est un sous-groupe, et soit tu vas bloquer à un moment, soit ca va marcher.

Prends deux éléments x et y dans A inter B, etc...

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 11 Nov 2009, 17:36

Ah si je sais, je suis con, je peux essayer de faire le même raisonnement, je t'écris ça de suite.

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 11 Nov 2009, 17:39

Donc, je reprends A et B des sous-groupes de G.
On a bien A et B qui contiennent le neutre de G, {}, puisqu'ils sont sous-groupes de G, donc j'ai .

Soient a et b dans j'ai et donc .

Et donc est un sous-groupe de G :id:

Ah, c'est pas dur en fait !

Nightmare
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par Nightmare » 11 Nov 2009, 17:44

c'est bien ça !

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 11 Nov 2009, 17:45

En fait il suffit juste de vérifier que les conditions sont bien vérifiées. On applique la définition sans se prendre la tête :)

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 12 Nov 2009, 16:12

J'ai fait un schéma très expéditif pour retracer quelques structures algébriques.

Ensemble + lci -> Magma

Magma associatif + élément neutre -> Monoïde

Monoïde + inversibilité de tous les éléments -> Groupe

Groupe + seconde lci -> Anneau

Anneau + tout élément non nul inversible -> Corps

Bien sûr il y a toutes les propriétés qui vont derrière, mais là c'est juste pour avoir une idée générale.

Pouvez-vous confirmer ce schéma ?

Merci.

legeniedesalpages
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par legeniedesalpages » 12 Nov 2009, 16:21

Timothé Lefebvre a écrit:Groupe + seconde lci -> Anneau


Ce serait plutôt groupe abélien + monoïde + compatibilité entre les deux lois -> anneau

Timothé Lefebvre a écrit:Anneau + tout élément non nul inversible -> Corps


et l'anneau est non réduit à 0 il me semble.

Nightmare
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par Nightmare » 12 Nov 2009, 16:29

Remarque, dans un anneau, le groupe additif est forcément abélien.

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 12 Nov 2009, 16:29

D'accord, merci de ces précisions, je rajoute ça dans mes notes !

Je vais me lancer dans les exos maintenant ...

Nightmare
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par Nightmare » 12 Nov 2009, 16:35

Ma dernière proposition est d'ailleurs un exercice sympathique :happy3:

kazeriahm
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par kazeriahm » 12 Nov 2009, 16:36

Comment ca un exercice ?

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 12 Nov 2009, 16:38

Oui, celle du polynôme nul, je n'ai pas oublié c'est en cours ;)
Je te dis quand j'ai une piste.

Nightmare
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par Nightmare » 12 Nov 2009, 16:59

kazeriahm a écrit:Comment ca un exercice ?


Dans la définition d'un anneau on exige que la loi additive soit commutative. Je dis qu'il est intéressant de montrer qu'en fait elle découle des autres axiomes de la définition.

Nightmare
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par Nightmare » 12 Nov 2009, 17:00

Ce n'est pas difficile cela dit, juste amusant.

kazeriahm
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par kazeriahm » 12 Nov 2009, 18:15

(G,+) est un groupe abélien. Je considère x une lci associative sur G. Pour être gentil je suppose que x admet un élément neutre (anneau unitaire == anneau selon les définitions, on a déjà abordé la question plus haut). Tu m'affirmes que (G,+,x) est un anneau ? A moins qu'on ne parle pas des mêmes axiomes ?

legeniedesalpages
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par legeniedesalpages » 12 Nov 2009, 18:31

si j'ai bien compris, l'exo c'est plutôt

(G,+,.) a toutes les propriétés d'un anneau sauf la commutativité de +. Il faut vérifier la commutativité de +.

 

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