Questions de cours sur les lois internes, groupes, anneaux e

[alavacommejetepousse]

Or, pour que le groupe (K,x) soit commutatif je dois virer le 0 de K.

.

bonjour

en fait

ce n ' est pas pour qu' il soit commutatif mais pour qu' il soit groupe qu il faut "virer" 0

[Timothé Lefebvre]

Ah tout à fait, sinon tous les éléments ne sont plus inversibles !

[Nightmare]

En fait plus généralement et comme dit plus haut, K* (ou ) est l'ensemble des élément inversible de K. Ici, on définie un corps comme un anneau ayant tous ses éléments non nuls inversibles, donc par définition K*=K-{0} est un groupe. Par contre ce n'est pas forcément vrai qu'il est abélien, il faut supposer que le corps K est lui même commutatif.

[Timothé Lefebvre]

Un corps étant un anneau commutatif non nul dans lequel tout élément non nul est inversible, je pensais qu'on pouvait dire que, par définition, un corps était commutatif. Ce n'est pas le cas alors ?

[Skullkid]

Ton cours est peut-être tiré de l'anglais ? La définition classique française du corps c'est un anneau (non nécessairement commutatif) dont tout élément non nul admet un inverse pour la multiplication. En revanche, en anglais, les "fields" (qu'on traduit parfois abusivement par "corps") sont les corps commutatifs.

Mais dans la terminologie française, un corps n'est pas forcément commutatif. Les quaternions forment un corps non commutatif, par exemple.

Après je sais pas quelle définition est la plus répandue actuellement, il est possible qu'on chercher à se calquer sur l'anglais pour faciliter la compréhension.

[Timothé Lefebvre]

Ah mince alors, sur mon cours (MPSI, C. Bertault, Lycée Paul Valéry à Paris) il est écrit textuellement : "On appelle corps tout anneau commutatif non nul dans lequel tout élément non nul est inversible (pour la multiplication). Si K est un corps, on note l'ensemble K\{}. Vous vérifierez que est un groupe commutatif pour la multiplication de K".
Je mets donc le "commutatif" de l'anneau entre parenthèses ?

J'ai une autre question sinon.
Dans un exercice (qui n'émane pas du même prof) on me parle de la partie stable d'un magma et de la lci induite par *.
Je me suis renseigné et voilà ce que j'ai trouvé.

"On appelle partie stable d'un magma (E,*) toute partie A de E telle que pour tout x et y de A on ait x*y dans A.
Soit l'application restreinte (désolé, je ne connais pas la commande LaTeX appropriée) :



Cette application définit une lci sur A appelée lci induite par *. On la note couramment *, ce qui permet de donner un sens au magma (A,*).

Je ne comprends pas en quoi cette application est différente de celle qui définit un simple magma comme (E,*), à part que A est une partie de E. Veut-on nous faire comprendre quelque chose dans le goût "A est un sous-ensemble de E pour la même loi" ? Si c'est le cas alors je comprends, sinon non.

[Skullkid]

T'entends quoi par différente ? Tu veux savoir si cette application est la même que l'* de E ? Non (une application est un triplet, blablabla). Sinon à part ça, elle a rien de vraiment différent, l'énoncé te dit juste que quand A est une partie stable de E pour *, l'application induite par * sur A est une lci de A, et du coup (A,*(induite)) est un magma.

[Timothé Lefebvre]

D'ac', en fait je voulais dire qu'elles avaient l'air d'être foutues exactement pareil ces lci.

Juste en-dessous, dans la page où j'ai trouvé ça, on m'annoncé l'élément régulier de (E,*) comme étant l'élément de E, pour tous a et b de E, x*a=x*b => a=b (régularité à gauche) et a*x=b*x=>a=b (régularité à droite).
Ça ressemble un peu à une simplification et donc ça me paraît complètement logique, au point que je me demande comment il peut être possible de ne pas pouvoir simplifier de la sorte, ie comment on ne peut pas avoir tout élément d'un ensemble régulier ? Ça existe les éléments non réguliers ?

Un magma associatif possédant un élément neutre est un monoïde. Ça fait beaucoup de vocabulaire tout ça ! On essaye de donner un nom à chaque cas ?!

Soit (E,*) un monoïde d'élément neutre e. Tout élément x de E tel qu'il existe un y de E pour lequel x*y=e et y*x=e est appelé élément symétrisable. J'appelle ça la commutativité moi ... :hein:

[Doraki]

Dans l'ensemble {0;1} muni de la multiplication, 0 est un élément non régulier parceque 0*0 = 0*1 = 0, et pourtant 0 est différent de 1.

Souviens-toi, quand on "simplifie" une équation en fait on "ajoute l'opposé" ou bien on "multiplie par l'inverse".. comme 0 n'a pas d'inverse tu peux pas dire que 0*a = 0*b => a = b.

Les éléments symétrisables sont réguliers parcequ'ils ont un inverse à gauche et à droite, y.
Si x est symétrisable de symétrique y, et si x*a = x*b alors a = e*a = (y*x)*a = y*(x*a) = y*(x*b) = (y*x)*b = e*b = b. Donc x est régulier.

La commutativité, moi j'appelle ça "pour tout x,y de E, x*y = y*x".
Je trouve quand même que c'est pas pareil que "il existe y de E, x*y = e et y*x = e".

[Skullkid]

Oui, ça existe des éléments non réguliers. Par exemple, dans le monoïde (R,x) 0 n'est pas régulier. D'une manière générale, quand t'es sur un anneau (A,+,x), 0 n'est pas régulier dans le monoïde (A,x). Et il y a aussi des éléments non réguliers moins triviaux, par exemple dans le monoïde des fonctions de R dans R, muni de la composition, les fonctions non bijectives ne sont pas régulières.

Un élément symétrisable c'est un élément qui admet un symétrique (un inverse, quoi) à gauche et un inverse à droite qui sont égaux. Exemple : le monoïde des fonctions bijectives de R dans R, muni de la composition. Tout élément est symétrisable mais le monoïde n'est pas commutatif.

Personnellement, les monoïdes et les magmas, je pense que tu peux ne pas trop t'attarder dessus. En général on étudie directement les groupes, qui sont plus structurés (dans un groupe, tout élément est symétrisable, et donc régulier). Limite, une fois que t'auras bien assimilé les groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels et algèbres, tu pourras revenir dessus si ça t'amuse. Enfin je ne sais pas comment est structuré ton cours, il donne peut-être une grande importance aux structures "inférieures" au groupe...

[Timothé Lefebvre]

Merci à vous deux pour vos réponses.

Je résume. Un élément est régulier s'il est "simplifiable" à droite et à gauche, c'est à dire s'il est inversible. Par exemple 0 dans (R,x) n'est pas inversible donc il n'est pas régulier.
Un élément symétrisable est régulier, mais un régulier n'est pas forcément symétrisable. Dans (R,+) 0 est symétrisable, mais pas régulier (là j'hésite).

Je crois que je vais vous filer le lien de mon cours, ça va être plus simple : http://bkristof.free.fr/cours/Cours%20-%20Groupes,%20anneaux,%20corps.pdf

Je l'ai imprimé pour le couvrir de notes manuscrites

[alavacommejetepousse]

bonsoir

j ai pas tout lu c est dense mais

en français comme le dit skullkid un corps n est pas commutatif a priori

une partie stable B du magna (A, T) permet de définir la loi restreinte
BxB ->B (x,y) ->xTy ce n est pas la même loi car les ensembles ont changé mais "elle fait la même chose"

l ensemble des entiers naturels est stable pour l addition dans Z et cqu 'on ajoute deux entiers naturels la somme est la même qu 'ils soient considérés comme élément de N ou de Z

[Timothé Lefebvre]

D'accord.
Donc, pour résumer simplement la stabilité : on dit qu'un ensemble (magma, anneau, corps) est stable pour l'addition si l'addition de deux de ses éléments donne un élément contenu dans l'ensemble en question ; et pareillement pour la multiplication.

Cela te semble juste ?

[Skullkid]

Un élément symétrisable est régulier.

Ouaip. Par contre pour l'implication régulier => symétrisable, je sais pas si elle est vraie. A voir.

Dans (R,+) 0 est symétrisable, mais pas régulier (là j'hésite)

C'est en contradiction avec le fait que tout symétrisable est régulier :p

Comme (R,+) est un groupe, tout le monde est régulier et symétrisable, la vie est belle.

[Doraki]

Merci à vous deux pour vos réponses.

Je résume. Un élément est régulier s'il est "simplifiable" à droite et à gauche, c'est à dire s'il est inversible. Par exemple 0 dans (R,x) n'est pas inversible donc il n'est pas régulier.
Un élément symétrisable est régulier, mais un régulier n'est pas forcément symétrisable. Dans (R,+) 0 est symétrisable, mais pas régulier (là j'hésite).

Les éléments réguliers ne sont pas nécessairement inversibles.
Ce sont plutôt les éléments symétrisables qui méritent d'être appelés inversibles. (je me demande pourquoi il utilise deux mots différents d'ailleurs)

Prend E = l'ensemble des suites finies, muni de l'opération de concaténation.
(x1...xn) ¤ (y1...ym) = (x1 ... xn y1 ... ym)
L'élément neutre est la suite vide qui n'a aucun élément.
Aucune suite non vide n'est inversible, mais elles sont toutes régulières à gauche et à droite.

[Skullkid]

Ah je savais qu'on pouvait compter sur toi pour les contre-exemples :p

[Timothé Lefebvre]

Mince c'est vrai ! Ah, je n'ai pas encore tous les réflexes qui vont bien !
D'accord pour tout ça.

@ Doraki : hum, la concaténation, pourrais-tu m'en toucher deux mots ?

[alavacommejetepousse]

ou dans l anneau R[X] des polynômes tout polynôme non nul est régulier (prouve le)

mais seules les constantes non nulles sont inversibles


doraki : symétrisable pour une loi quelconque

inversible quand la loi est notée multiplicativement

[Timothé Lefebvre]

doraki : symétrisable pour une loi quelconque

inversible quand la loi est notée multiplicativement

Et opposé quand la loi est intuitivement l'addition

Intéressante question, je vais y penser et je te fais signe lorsque j'ai une piste.

[Doraki]

Bah chais pas, y'a pas grand chose à dire sur la concaténation..
C'est la loi associative générique.

D'ailleurs c'est bien pour ça que le monoïde libre à une infinité K de générateurs est l'objet initial de la catégorie des monoïdes de cardinalité <= K .