Questions de cours sur les lois internes, groupes, anneaux e

[kazeriahm]

Dans Z tout élément non nul est régulier (Z est intègre) mais seul 1 et -1 sont inversibles

[Timothé Lefebvre]

Ok, donc logiquement Z n'est pas un corps.

[kazeriahm]

Oui, enfin c'est pas le moyen le plus direct de le voir ;) C'est vrai ca, vu que tu te réfères à un cours écrit, tu n'as peut-être pas d'exemples dits classiques de groupes, d'anneaux et de corps sous la main si ?

[Timothé Lefebvre]

Oh si si, j'en ai ;)

J'avais donné le lien de mon cours tout à l'heure, tu verras il est très bien fait je trouve :)

[Nightmare]

Ce qui est dommage avec ce genre de cours c'est qu'à part des définitions on ne sait finalement rien de ces structures alors qu'elles ont une foule de propriétés intéressantes. Je me rappelle en sup, on a d'abord vu les groupes avec les complexes et les racines de l'unité. Quand on a fait les polynômes on a vu les anneaux et un peu plus loin les corps avec les Z/pZ etc. C'était assez agréable car on sentait vraiment l'utilité de ces notions.

[Timothé Lefebvre]

Tu as bien raison, malheureusement je n'ai pas d'autre cours sous la main. J'essaye de me contenter de celui-là qui ma foi est fort intéressant !

[alavacommejetepousse]

Ce qui est dommage avec ce genre de cours c'est qu'à part des définitions on ne sait finalement rien de ces structures alors qu'elles ont une foule de propriétés intéressantes. Je me rappelle en sup, on a d'abord vu les groupes avec les complexes et les racines de l'unité. Quand on a fait les polynômes on a vu les anneaux et un peu plus loin les corps avec les Z/pZ etc. C'était assez agréable car on sentait vraiment l'utilité de ces notions.

bonjour
j abonde en précisant qu'une illustration majeure des groupes est celle des groupes de transformations
par exemple
ensemble des isométries affines planes qui laissent stable un carré ; un triangle

[Nightmare]

Oui, c'est d'ailleurs souvent un bon exercice que de trouver toutes ces isométries.

Bref, plein de trucs à dire sur les groupes et peu de choses sont souvent dites dans ce genre de cours.

[lapras]

Nous en Sup on est passé direct aux espaces vectoriels sans voir les corps, anneaux etc...

[Timothé Lefebvre]

Nous en Sup on est passé direct aux espaces vectoriels sans voir les corps, anneaux etc...

Dur ... J'ai pas très envie de passer aux e.v direct, je fais d'abord bien finir ça avec des exos ^^

[Nightmare]

Nous en Sup on est passé direct aux espaces vectoriels sans voir les corps, anneaux etc...

Pareil, c'est bien mieux d'ailleurs :lol3:

[Nightmare]

Tiens question Tim > La réunion de deux sous-groupe de G (groupe quelconque) est-elle un sous-groupe de G ?

[Timothé Lefebvre]

Bon, je me lance.

Soit G un groupe quelconque, soient A et B deux sous-groupes de G pour la même loi.

On suppose que la réunion de A et de B, notée est un sous-groupe de G, et que B ne contienne pas A. Si cette hypothèse est juste, alors il existe donc un a dans A qui ne soit pas dans B. On va montrer que ce n'est pas le cas, et donc que B est inclus dans A.

Soit b dans B, alors ab est dans (par stabilité du produit), mais ab n'est pas contenu dans B parce que dans ce cas-ci on aurait .

Donc ab est forcément dans A, d'où (stabilité par passage à l'inverse).

On en déduit que le groupe G ne peut être la réunion de deux sous-groupes (autres que les deux sous-groupes {} et G lui-même).

Je ne sais pas si je réponds à la question, j'ai l'impression de m'être égaré :hein:

[Nightmare]

Il manque un passage pour conclure, pourquoi le fait que ab soit dans A implique que G ne peut pas être réunion de deux sous-groupes ?

[Timothé Lefebvre]

Parce que si était un sous-groupe de G alors le produit ab devrait être stable dans ?

[Nightmare]

Et? Il l'est puisqu'il appartient à A (donc en particulier à AUB)

[Nightmare]

Désolé, en fait je n'avais pas vu que tu avais écrit la raison dans ton raisonnement (le fait que b appartienne donc à A)

La démo est bonne.

Quid de l'intersection?

[kazeriahm]

T'es sur la bonne voie mais c'est la phrase

On en déduit que le groupe G ne peut être la réunion de deux sous-groupes (autres que les deux sous-groupes {} et G lui-même).

qui est fausse. La conclusion de ta démo c'est que B est contenu dans A. T'as montré donc que A U B est un groupe implique A C B ou B C A

[Timothé Lefebvre]

Si est sous-groupe de G alors est lui-même un groupe, ce qui n'est pas le cas ?

Hum, je m'embrouille je crois.

[Doraki]

Soit b dans B [...] d'où (stabilité par passage à l'inverse).

On en déduit que le groupe G ne peut être la réunion de deux sous-groupes (autres que les deux sous-groupes {} et G lui-même).

Je sais pas comment diable t'as fait cette déduction, moi, de "pour tout b dans B, b est dans A", je déduis plutôt que B est inclus dans A, mais c'est tout.