Matrices Défi

[Sylar]

Bonjour,

voila je lance le défi suivant :

Soient A et B 2 matrices de Mn(R) .Montrer que si A et B sont semblables dans Mn(C) ,elles le sont dans Mn(R)...........

[kazeriahm]

salut

A=P^(-1)BP donc P*A=B*P avec P dans GL_n(C)

on pose P=R+i*S avec R et S dans M_n(R)

on a alors par identification

R*A=B*R (1) et S*A=B*S (2)

on considère le polynome P(x)=det(R+x*S)

c'est un polynome non nul car P(i) est non nul

donc on peut trouver un réel t tel que P(t) soit non nul

ainsi R+t*S est dans GL_n(R)

alors (1)+t*(2) donne (R+t*S)*A=B*(R+t*S) et c'est fini

[sandrine_guillerme]

Bonjour,

Exo déjà fait par Rain' proposé par sandrine je crois :zen:

ou l'inverse je sais plus..

[Alpha]

Exo classique...

Supposons et semblables dans .

Alors il existe une matrice de telle que
, ou encore, .

Ecrivons comme sous la forme partie réelle + i(partie imaginaire) :

, où sont dans .

On a alors, d'après l'équation ,

,

donc

.

Or le polynôme en est non nul, puisqu'il est non nul pour . Par conséquent, il existe un réel tel que soit non nul.

Alors est inversible, réelle, et , ce qui prouve que et sont semblables dans .

[Sylar]

Ok bien joué :)