[Topologie] Intersection quelconque d'ouverts
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Sake
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par Sake » 10 Sep 2018, 10:43
Salut,
J'ai un creux, et même si je pense bien avoir fait cet exo en première année de prépa, je me souviens plus d'une astuce...
Il me faut montrer que:
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?[0,1] = \bigcap_{j\geq 1}{]-\frac{1}{j},1+\frac{1}{j}[})
L'inclusion directe est... directe. Mais l'inclusion inverse
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\bigcap_{j\geq 1}{]-\frac{1}{j},1+\frac{1}{j}[}\subset [0,1])
ne me paraît pas immédiate. Je pense avoir lu quelque part qu'il y a un passage à la limite, mais ça me semble bien foireux.
Merci d'éclairer ma lanterne.
Edit : Je tiens à changer "quelconque" par "infinie"
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Kolis
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par Kolis » 10 Sep 2018, 10:53
Bonjour !
Simplement tu montres l'inclusion inverse des complémentaires : si un point n'est pas dans le segment, il n'est pas dans l'intersection, il suffit de prendre un indice assez grand.
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Sake
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par Sake » 10 Sep 2018, 11:07
Eyy bien vu. Merci
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Ben314
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par Ben314 » 10 Sep 2018, 11:23
Salut,
Sake a écrit:![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?[0,1] = \bigcap_{j\geq 1}{]-\frac{1}{j},1+\frac{1}{j}[})
L'inclusion directe est... directe. Mais l'inclusion inverse
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\bigcap_{j\geq 1}{]-\frac{1}{j},1+\frac{1}{j}[}\subset [0,1])
ne me paraît pas immédiate. Je pense avoir lu quelque part qu'il y a un passage à la limite, mais ça me semble bien foireux.
Par "passage à la limite", c'est immédiat : dire que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x\!\in\bigcap_{j\geq 1}{]-\frac{1}{j},1+\frac{1}{j}[})
, ça veut très exactement dire que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\forall j\!\geq\!1,\ -\frac{1}{j}\!<\!x\!<\!1\!+\!\frac{1}{j})
ce qui implique immédiatement que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?0\!\leq\!x\!\leq\!1)
.
(en espérant que tu sait que, si une suite convergente
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(u_n))
est telle que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?u_n\!<\!a)
pour tout
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n)
, alors la limite est
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\leq a)
)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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Sake
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par Sake » 10 Sep 2018, 12:01
Voilà, c'est le point qui me posait problème... Pourtant j'ai dû l'apprendre un jour, car il est au programme de TS
![Embarrassé :oops:](https://www.maths-forum.com/images/smilies/icon_redface.gif)
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