Intersection d'ouverts denses

[legeniedesalpages]

Bonsoir,

voilà un exo où je n'ai pas d'idée:

Soit un espace métrique complet, et soit une suite d'ouverts de , dont chacun soit partout dense sur ().

a) Montrer que l'ensemble est aussi l'intersection d'une suite décroissante d'ouverts partout denses de .

b) En déduire que n'est pas vide, et plus précisément que est partout dense sur .

Déjà pour la a), je bloque,

merci pour vos indications.

[Dyo]

Salut legeniedesalpages,

Pour la a) peut être que tu peux considérer les parties

On a bien et

Les sont ouverts (intersection finie), reste à vérifier qu'ils sont denses (peut être que c'est immédiat ?).

[alavacommejetepousse]

bonjour

c'est l'important théorème de Baire

la fin du a est claire
soit x dans E et Uun ouvert contenant x

U inter G1 est non vide carG1 dense c'est un ouvertdonc U inter G1 inter G2

idem donc de proche enproche U inter Hn idem

b) utiliser la complétude et des boules B(x; 1/2^n)

[legeniedesalpages]

d'accord, merci pour vos conseils, je vais chercher ça.

[ffpower]

C est un de mes théoremes préférés^^

[legeniedesalpages]

ok, bon pour la suite du problème:

3) Soit un espace métrique complet. En déduire que l'on ne peut avoir , où chaque est non-dense sur . (ça c'est ok)

4) Soit un espace métrique complet. Déduire de 3) que si , où chaque est fermé, il existe un dont l'intérieur est non vide (ça c'est ok), et plus précisément que l'ouvert est partout dense sur (là je ne vois pas :hein: :mur: :marteau: )

[ffpower]

Applique Baire sur le complementaire de G..

[alavacommejetepousse]

bonjour,

ok, bon pour la suite du problème:

3) Soit un espace métrique complet. En déduire que l'on ne peut avoir , où chaque est non-dense sur . (ça c'est ok)

hum
que dire des [-n,n[ dans R ?

[ffpower]

mouais,ca doit etre d interieur vide je suppose..ca doit encore etre une notation a l anglaise ca,comme non croissant pour dire decroissant..

[alavacommejetepousse]

mouais,ca doit etre d interieur vide je suppose..ca doit encore etre une notation a l anglaise ca,comme non croissant pour dire decroissant..

comme langue forestière je ne comprends que le morvandiau et encore le haut morvandiau

[legeniedesalpages]

ah oui pardon, j'ai oublié de préciser: dans un espace topologique E,

A non-dense <=> A d'intérieur vide,

A dense <=> A d'intérieur non vide,

A partout dense <=> A d'adhérence E.

[alavacommejetepousse]

heu "non dense " c'est anglais (commedirait ffpower) comme terminologie ?

en tant que français ça me choque

alors "non vide " ca veut dire égal à E ? :id:

dans le 3 les An sont fermés également non ?

[legeniedesalpages]

pardon ces trois définitions, ça vient de G.Choquet, ça doit être ch'ti je pense (http://fr.wikipedia.org/wiki/Gustave_Choquet ) :lol2:

bon là "dense" version français, c'est "partout dense" ici.

Dans la 3), c'est pas précisé que les soient fermés.

[alavacommejetepousse]

[QUOTEDans la 3), c'est pas précisé que les soient fermés.[/quote]

dans R

Q et complémentaire de Q est un contre exemple dans ce cas.

[legeniedesalpages]

C'est ma faute.

Les définitions données de densité sont en fait:

A est un sous-ensemble d'un espace E.

On dit que

A est partout dense sur E si ;

A est dense sur E si a son intérieur non vide;

A est non dense sur E si a son intérieur vide.

[alavacommejetepousse]

C'est ma faute.

Les définitions données de densité sont en fait:

A est un sous-ensemble d'un espace E.

On dit que

A est partout dense sur E si ;

A est dense sur E si a son intérieur non vide;

A est non dense sur E si a son intérieur vide.

ben
c'est choquet qui fait ça ?

[legeniedesalpages]

ben
c'est choquet qui fait ça ?

euh oui, la définition et l'exo proposé, tout est dans son bouquin.


Edit: j'avais zappé les barres ce matin. :mur:

[alavacommejetepousse]

réécris le 4 stp avec les mots "habituels" car là vraiment ...

[legeniedesalpages]

4) Soit un espace métrique complet. Déduire de 3) que si , où chaque est fermé, il existe un dont l'intérieur est non vide (ça c'est ok), et plus précisément que l'ouvert est dense (au sens habituel) sur

[legeniedesalpages]

Bon, je ne vois toujours pas, il faut donc montrer que

,

c'est clair qu'on a , mais pour l'autre inclusion...