Intégrabilité de t->sin(t)/t

par **abel** » 19 Mar 2006, 11:46

Bonjour à tous, voilà je bloque sur une question d'un DM :
On me demande de dire si t->sin(t)/t est intégrable sur [0,+oo[
Moi je pense que oui, le problème c'est que je n'arrive pas à le montrer, j'ai essayé de décomposer l'integrale en somme d'integrales sur les périodes mais bon ça me donne rien de concluant...
Merci à ceux qui m'aideront.

par **isortoq** » 19 Mar 2006, 12:00

Il faut déjà séparer le pb en 0 et celui en 1... En 0 c'est un faux pb puisque sint/t tend vers 1 qd t tends vers 0 ; ensuite pour l'intégrale entre 1 et + l'infini une intégration par parties pour faire apparaitre un t^2 au dénominateur donne le résultat...

par **abel** » 19 Mar 2006, 12:03

MERCI !!! :lol3:

par **abcd22** » 19 Mar 2006, 12:04

Non, sin(t)/t n'est pas intégrable sur [0,+inf[, mais il existe une intégrale impropre.

par **abel** » 19 Mar 2006, 12:07

J'ai calculé l'intégrale avc Maple en de tres grandes valeurs et ça à l'air de converger...

par **abcd22** » 19 Mar 2006, 12:12

Ben oui, c'est ce que je dis, il existe une intégrale impropre, ça veut dire que

converge quand x tend vers l'infini. Mais dire qu'elle est intégrable ça veut dire que

converge, ce n'est pas la même chose ! (Apprends ton cours ! Si votre prof a demandé ça c'est justement parce que c'est un exemple classique d'intégrale impropre)

par **isortoq** » 19 Mar 2006, 12:15

abcd22 a écrit:Non, sin(t)/t n'est pas intégrable sur [0,+inf[, mais il existe une intégrale impropre.

Oui tu as raison... Etre intégrable (au sens de Lebesgue ou du cours de sup) sur R+ pour f, entraine que le module de f l'est aussi, ce qui n'est pas le cas pour sint/t...
Par contre, comme limite quand X tend vers + l'infini de l'intégrale entre 0 et X de sint/t, l'intégrale entre 0 et l'infini de sint/t a un sens...

par **jer-M-** » 18 Nov 2007, 16:58

Il faut utiliser le critere de cauchy d'existence de le limite de l 'intergrale de 0 a X , et avec une IPP on s'en sort , mais y'a pas une otre methode ???

par **quinto** » 19 Nov 2007, 03:30

isortoq a écrit:Il faut déjà séparer le pb en 0 et celui en 1... En 0 c'est un faux pb puisque sint/t tend vers 1 qd t tends vers 0

Bein justement ca converge ...

par **Dyo** » 19 Nov 2007, 07:28

mais y'a pas une otre methode ???

Utiliser la 2nde formule de la moyenne en majorant la quantité
de Cauchy (entre A et B) par 2/A qui tend vers 0.

Intégrabilité de t->sin(t)/t

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