Intégrabilité, limite

par **jeje56** » 09 Nov 2009, 14:50

Bonjour,

Soit f une fonction continue et intégrable sur R.

On suppose que la limite en + ou - l'infini de f existe.

MQ cette limite est 0

Je ne vois pas bien comment raisonner, je dis :

f est intégrable en l'infini donc équivalente à une fonction de la forme 1/t^a (a>0) en l'infini qui tends vers 0 : d'où f tends vers 0...

Merci bcp !

par **Nightmare** » 09 Nov 2009, 15:11

Salut !

Voici ce que 'jai trouvé :

On montre d'abord que f est uniformément continue. Ensuite on suppose qu'il existe une suite (xn) telle que

à epsilon fixé. On peut supposer que (xn) est strictement croissante.

Par uniforme continuité, il existe

tel que

implique que

Sur l'intervalle de rayon eta centré en xn on a donc

et par conséquent l'intégrale de f sur cet intervalle est minorée par

ce qui montre que f ne vérifie pas le critère de Cauchy !

par **kazeriahm** » 09 Nov 2009, 15:18

C'est pas parce que f est integrable qu'elle equivaut a 1/t^a en plus l'infini !!! Regarde la fonction nulle ou meme la fonction e^{-t}

Je pense qu'il y a plus simple que ce que tu proposes Nightmare en regardant l'integrale "partielle" de |f| entre 0 et X. Au bout d'un moment, f est proche de l et l'integrale de |f| entre 0 et X se comporte comme |l|*X quand X tend vers l'infini (si l est non nul).

par **Nightmare** » 09 Nov 2009, 15:22

Salut kazeriahm :happy3:

Oui ça marche aussi. 2 solutions valent mieux qu'une :lol3:

par **jeje56** » 09 Nov 2009, 15:24

kazeriahm a écrit:C'est pas parce que f est integrable qu'elle equivaut a 1/t^a en plus l'infini

Oui, c'est la réciproque qui est vraie pardon...

par **jeje56** » 09 Nov 2009, 15:27

kazeriahm a écrit: Au bout d'un moment, f est proche de l

l est la limite de f ?

par **kazeriahm** » 09 Nov 2009, 15:30

jeje56 a écrit:l est la limite de f ?

Oui :bad:

par **jeje56** » 09 Nov 2009, 15:32

L'intégrale de |f| se comporte comme |l|*X qui tends vers l'infini, donc comment en déduire que l est nulle ?

par **kazeriahm** » 09 Nov 2009, 15:46

l'integrale de |f| entre 0 et X a une limite finie quand X tend vers l'infini, puisque f est integrable

par **jeje56** » 09 Nov 2009, 20:32

La seule possibilité pour que |l|*X tende vers une limite finie en l'infini est que l soit nulle, c'est bien ça ?

Et d'ailleurs, qui nous dit que l est finie initialement ?

Merci !

par **kazeriahm** » 09 Nov 2009, 21:06

Oui tu as raison, on a répondu à la question si l est finie. Si l vaut l'infini, alors pour x au dela d'un certain A, |f(x)|>=M ou M est strictement positif, et la partie de l'intégrale entre A et l'infini explose.

par **jeje56** » 10 Nov 2009, 06:48

Dac, je vois...

On a montré qu'une fonction continue et intégrable sur R admet nécessairement une limite (si elle a une limite...) finie et nulle...

Mais par exemple, exp(x) ne serait pas intégrable sur R avec ce résultat... Je ne vois pas vraiment...

Merci !

par **kazeriahm** » 10 Nov 2009, 07:26

exp(x) est intégrable sur R ?

par **jeje56** » 10 Nov 2009, 08:21

Lol, non c'est vrai, son intégrale tends vers l'infini... autant pour moi !

par **jeje56** » 10 Nov 2009, 08:23

jeje56 a écrit:La seule possibilité pour que |l|*X tende vers une limite finie en l'infini est que l soit nulle, c'est bien ça ?

Peux-tu juste me reconfirmer si mon raisonnement est bon ?

Merci bcp !

La prochaine question est la suivante : dans le cas général, a-t-on l=0 ? Je pense qu'ici, on ne suppose plus que la limite existe...

Merci !

par **kazeriahm** » 10 Nov 2009, 08:40

Oui c'est ca, bon faut ecrire les choses precisement pour tout justifier mais l'idee est la.

Dans le cas general est-ce qu'une fonction continue et integrable a une limite en l'infini ? Alors soit on te laisse un peu chercher, soit je te donne la reponse et te donne une indication sur comment trouver une preuve (ou un contre exemple). A toi de voir

par **jeje56** » 10 Nov 2009, 09:47

Je cherche un peu... Et je reviens vers toi si je ne trouve rien ! ;-)

Il faudrait trouver une fonction continue et intégrable qui oscille...

par **jeje56** » 10 Nov 2009, 10:27

Je pense à sin(x)/x dont l'intégrale vaut pi sur 2 sur R+ ?... Est-elle bien sans limite ?

par **kazeriahm** » 10 Nov 2009, 10:37

Oui sin(x)/x a une limite en l'infini, laquelle ? De toute facon, sin(x)/x n'est pas integrable sur R+, au sens ou l'integrale de sa valeur absolue ne converge pas. C'est une integrale impropre (on dit qu'une fonction est integrable sur I quand on peut integrer sur I sa valeur absolue).

Bon tu as raison de chercher un contre exemple, la reponse a la question est bien non, une fonction continue integrable n'admet pas forcement de limite a l'infini. Tu vas avoir du mal a exhiber une fonction "closed-form" (qui s'exprime de maniere algebrique simple en x) qui soit un contre exemple.

Il faut mettre les mains dans le cambouis : le plus simple est de construire une fonction qui vaut 0 partout, sauf sur les intervalles du style [n-epsilon(n),n+epsilon(n)] avec n entier, tu peux la faire valoir n en n (f(n)=n) et decider qu'elle est affine entre n-e(n) et n, et affine entre n et n+e(n), puis 0, jusqu'au prochain intervalle de cette forme. Ca te fait une fonction continue, qui ne tend pas vers 0. Faut trouver e(n) pour que la fonction soit integrable. Dis moi si t'as du mal, c'est pas forcement facile a voir

par **jeje56** » 10 Nov 2009, 11:42

0 pour limite de sinx/x... On dit que l'intégrale sur R+ est semi-convergente non ?

Pour la construction, je me représente une "suite de triangles" de plus en plus haut... f(n-e(n))=f(n+e(n))=0 pour que f soit continue non ?

Intuitivement, il faudrait trouver e(n) pour pouvoir majorer par une fonction en n ne tendant pas vers l'infini la somme des aires de ces triangles peut-être ?

e(n)=1/n^3 donne une série convergente, d'où l'intégrabilité...

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