Critere d'integrabilite de Riemann

[MathematicienPoche]

Nightmare: oui jai compris et cest exactement ce que jai vu dans mon cours, mais ce nest pas dans la definition que jai un probleme, cest vraiment dans lapplication.

Quinto: le critere de riemann est definit comme suit dans mon livre: Riemann integrable <=> pour tout e>0, il existe une partition p telle que S(f,p) - s(f,p) < e.

[Anneauprincipal]

Le critère pour être R-intégrable n'est-il pas pour f d'être dans l'adhérence des fonctions en escalier ?

[Nightmare]

Non. Etre dans l'adhérence des fonctions en escaliers, ça s'appelle être réglé. Et comme on l'a dit, on peut trouver des fonctions réglées qui ne sont pas Riemann-intégrables.

[quinto]

Le critère pour être R-intégrable n'est-il pas pour f d'être dans l'adhérence des fonctions en escalier ?

Bien sur, après cela dépend de la facon dont est monté le cours.
Ici son critère (sa définition ?) est que l'intégrale inférieure et supérieure diffèrent d'au plus epsilon.

En fait, tu te rends bien compte que c'est la même chose que ce que tu as dit et que ce que j'ai moi même dit.

Si tu dis que S(f,p,n)-s(f,p,n) tend vers 0, cela signifie que pour un p (qui dépend de n, c'est pour cela que j'ai ajouté n en indice dans S et s) ou donc pour un n assez grand, S(f,p,n)-s(f,p,n) 0, on peut trouver un p qui satisfait la précédente inégalité, alors cela signifie bien que la quantité tend vers 0.


Pour justifier que ma démarche est correcte c'est la même idée, si chacune des intégrales (sup et inf) tend vers 4, cela signifie que la différence des 2 tend bien vers 0.

Toutes ces méthodes sont donc bien équivalentes.

[Nightmare]

Pour contre exemple, on prend la fonction caractéristique sur un bon ensemble, du style les 1/2^n.

[Anneauprincipal]

Ha, merci quinto, parce que c'est comme cela qu'on me l'a présenté : on définit l'intégrale sur un espace simple (escalier) puis on généralise à l'adhérence de l'espace.

[quinto]

C'est comme ca que l'on fait en général, mais on peut encore étendre la définition de l'intégrale de Riemann, on en a parlé dans les échanges précédents avec ffpower.

[MathematicienPoche]

Mais si par exemple je choisi e = 3, je ne peux pas trouver de partition tel que S(f,p) - s(f,p) < 3? Et le but nest pas de prouver que pour nimporte quel partition avec un n assez grand e tend vers 0, mais de montrer que pour nimporte quel e, il existe une partition tel que S(f,p) - s(s,p) < e. Est-ce equivalent?

[quinto]

Mais si par exemple je choisi e = 3, je ne peux pas trouver de partition tel que S(f,p) - s(f,p) < 3?

Bien sur, si, puisque le but est de trouver à epsilon fixé quelconque, une partition qui fait que S(f,p)-s(f,p) < epsilon.

Si pour tout epsilon une telle partition existe alors la fonction est Riemann intégrable, sinon elle ne l'est pas.

[MathematicienPoche]

ok, pour lexemple si je prend e = 4, alors il faut que s(f,p) = 0, donc la seule partition acceptable serait p = {x, 1/2}, c ca?

[Doraki]

si je prend une partition p = {1/n, 2/n, 3/n, ..., n/n, ..., 2n/n), alors je peux voir qu'il y aura toujours un interval dans une partition qui aura 1/2 (sauf dans le cas en haut ou il peut y en avoir deux?). Donc, s(f,p) = somme(2 * 1/n) + 0 * 1/n = 2/n * somme(1 de i=1 a 2n-1) = 2(2n-1)/n

et apres je fais tendre S(f,p)-s(f,p) = 4 - 2(2n-1)/n vers linfini ce qui donne: 4 - 4 = 0. Il doit y avoir une methode moins compliquer non? Et dautant je nai pas resolu le probleme a laide du critere, ce que je suis obliger de faire.

Tu as donc trouvé une suite de subdivisions telles que S(f,p) - s(f,p) tend vers 0.

Donc pour tout epsilon > 0, il y a un entier n à partir duquel toutes les subdivisions p que tu as décrites vérifient S(f,p) - s(f,p) < epsilon.

Donc là justement tu es en train d'utiliser le critère pour conclure que la fonction est riemann-intégrable.