[PSI] Intégrabilité de ( sin(x) )^3 / x²

[Anonyme]

Bonjour ....

On étudie l'intégrabilité de f(x) = [ sin(x) ]^3 / x² sur IR+

Pour x >= 1 :
avec |sin(x)|^3 =< 1, on a |f(x)| =< 1/x²
puisque ' 1/x² ' est intégrable sur [1,+¤¤[, f l'est aussi.

Pour 0 < x < 1 :
f est dérivable sur ]0,1[, après calcul de sa dérivée, on a f ' (x) > 0 pour
tout x dans ]0,1[, donc f croît strictement sur ]0,1[ ;
lorsque x tend vers 0, f(x) tend vers x = 0 aussi, c'est son minimum ;
|f(x)| est donc majorée par f(1)

f est donc intégrable sur IR+.

Mais pour calculer son intégrale, on me conseille de linéariser [sin(x) ]^3.
Or, avec E>0, la solution me dit que
l'intégrale de E à +¤¤ de [-1/4 sin(3x) / x² + 3/4 sin(x) / x² ]
est égale à
l'intégrale de E à +¤¤ de [-1/4 sin(3x) / x² ] + l'intégrale de E à +¤¤ de
[3/4 sin(x) / x²]
alors que sin(3x) / x² n'est pas intégrable sur ]0,1[.

Pouvez-vous me dire si (et où) je me trompe s'il vous plaît ?

[Anonyme]

"LaPomme" a écrit dans le message de news:
brg574$odh$1@news-reader3.wanadoo.fr...
> Bonjour ....
>
> On étudie l'intégrabilité de f(x) = [ sin(x) ]^3 / x² sur IR+
>
> Pour x >= 1 :
> avec |sin(x)|^3 = puisque ' 1/x² ' est intégrable sur [1,+¤¤[, f l'est aussi.
>
> Pour 0 f est dérivable sur ]0,1[, après calcul de sa dérivée, on a f ' (x) > 0
pour
> tout x dans ]0,1[, donc f croît strictement sur ]0,1[ ;
> lorsque x tend vers 0, f(x) tend vers x = 0 aussi, c'est son minimum ;
> |f(x)| est donc majorée par f(1)
>
> f est donc intégrable sur IR+.
>
> Mais pour calculer son intégrale, on me conseille de linéariser
[sin(x) ]^3.
> Or, avec E>0, la solution me dit que
> l'intégrale de E à +¤¤ de [-1/4 sin(3x) / x² + 3/4 sin(x) / x² ]
> est égale à
> l'intégrale de E à +¤¤ de [-1/4 sin(3x) / x² ] + l'intégrale de E à +¤¤ de
> [3/4 sin(x) / x²]
> alors que sin(3x) / x² n'est pas intégrable sur ]0,1[.
>
> Pouvez-vous me dire si (et où) je me trompe s'il vous plaît ?
>
>
Il n'y a rien de faux (ni contradictoire)

L'intégrale de E à +inf de -1/4 sin(3x)/x^2 est égale à :
-(3/4)int_(3E)^(+inf) (sin x)/x^2 dx (changement de variable 3x=u)
Donc int_E^+inf (sin x)^3/x^2 dx = (3/4)int_E^(3E) sin (x)/x^2 dx
Quand E tend vers 0, ça doit être équivalent à (3/4)int_E^(3E) (1/x)dx =
(3/4)ln 3
Donc l'intégrale est (3/4)ln 3
....
Vérification sur Maple
....
C'est ça

[Anonyme]

> Pour 0 f est dérivable sur ]0,1[, après calcul de sa dérivée, on a f ' (x) > 0
pour
> tout x dans ]0,1[, donc f croît strictement sur ]0,1[ ;
> lorsque x tend vers 0, f(x) tend vers x = 0 aussi, c'est son minimum ;
> |f(x)| est donc majorée par f(1)
>
> f est donc intégrable sur IR+.
>
Pour montrer que f est intégrable sur ]0,1[, il y a BEAUCOUP BEAUCOUP plus
simple (et plus rigoureux) :

pour tout x>0, |sin x|<=x, donc |f(x)|<=x. Donc f est bornée sur ]0,1[, donc
intégrable sur ]0,1[

[Anonyme]

Merci