Nightmare a écrit:As-tu réussi à comprendre pourquoi l'indicatrice de Q était discontinue sur R tout entier? Je pense que c'est le point clé.
oui, grâce à la définition basique de la continuité d'une fonction en un point a quelconque :
Si on prend epsilon=1/2 par exemple et que l'on considère 2 cas :
1) a élément de Q alors il doit exister un intervalle ]a-éta,a+éta[ de R t. q. :
1/2 < f(x) < 3/2
Cela est impossible, car tout intervalle non réduit à un point contient un nombre irrationnel et dans ce cas f(x) vaut 0.
2) a élément de R\Q alors il doit exister un intervalle ]a-éta,a+éta[ de R t. q. :
-1/2 < f(x) < 1/2
Par un argument similaire on prouve qu'on ne peut pas trouver d'intervalle qui vérifie cette inégalité et donc la définition de continuité.