Intégrabilité au sens de Riemann de la fonction indicatrice des rationnels

[sylwa]

Bonjour,

La fonction indicatrice de l'espace des Rationnels n'est pas intégrable au sens de Riemann.

Est ce correcte de justifier cette propriété en invoquant le critère de Lebesgue d'intégrabilité au sens de Riemann d'une fonction qui est :
Soit une fonction bornée sur [a,b] et soit D l'ensemble des discontinuités de f sur [a,b] alors f est Riemann intégrable <=> D a une mesure de Lebesgue nulle.

puis de dire qu'on peut considérer la fonction indicatrice de l'espace des Rationnels comme discontinue sur un espace dénombrable de singletons rationnels, et enfin d'ajouter que l'espace des Rationnels est de mesure de Lebesgue nulle ?

Bien Cordialement

[Nightmare]

Salut,

oui c'est correct mais on peut se passer de ce théorème fort en revenant à la définition de l'intégrale de Riemann.

[Judoboy]

Bonjour,

La fonction indicatrice de l'espace des Rationnels n'est pas intégrable au sens de Riemann.

Est ce correcte de justifier cette propriété en invoquant le critère de Lebesgue d'intégrabilité au sens de Riemann d'une fonction qui est :
Soit une fonction bornée sur [a,b] et soit D l'ensemble des discontinuités de f sur [a,b] alors f est Riemann intégrable D a une mesure de Lebesgue nulle.

puis de dire qu'on peut considérer la fonction indicatrice de l'espace des Rationnels comme discontinue sur un espace dénombrable de singletons rationnels, et enfin d'ajouter que l'espace des Rationnels est de mesure de Lebesgue nulle ?

Bien Cordialement

Si j'ai bien suivi tu viens de montrer que la fonction indicatrice est intégrable au sens de Riemann ? (D est de mesure nulle)

[sylwa]

Si j'ai bien suivi tu viens de montrer que la fonction indicatrice est intégrable au sens de Riemann ? (D est de mesure nulle)

Exact !
j'ai pas achevé correctement mon post : j'arrive par ce raisonnement à une contradiction...

Quelqu'un peut m'aider ?

[Nightmare]

Oui, effectivement, après relecture ça ne va pas.

l'indicatrice des rationnels est discontinue sur R. Son ensemble de discontinuité n' est pas négligeable, donc elle n'est pas R-intégrable.

[sylwa]

Oui, effectivement, après relecture ça ne va pas.

l'indicatrice des rationnels est discontinue sur R. Son ensemble de discontinuité n' est pas négligeable, donc elle n'est pas R-intégrable.

Pourtant la mesure de Lebesgue de Q est nulle non ?

[Nightmare]

Oui, mais Q n'est pas l'ensemble des discontinuité de ta fonction. Elle est discontinue sur R tout entier, qui lui n'est pas de mesure nulle!

[sylwa]

Oui, mais Q n'est pas l'ensemble des discontinuité de ta fonction. Elle est discontinue sur R tout entier, qui lui n'est pas de mesure nulle!

Merci pour cette précision NightMare. Cela dit, c'est là exactement que je bloque.
Je vois les choses d'une autre manière : entre 2 rationnels contigus, il existe un ensemble infini non dénombrable d'irrationnels, appelons cet intervalle Ci où i est un indice appartenant à un ensemble infini non dénombrable quelconque permettant de distinguer Ci de ses homologues.
Alors, on peut dire que la fonction indicatrice de l'espace des Rationnels est continue par morceaux sur l'union infinie non dénombrable des Ci. Par conséquent, l'ensemble des discontinuités de ma fonction se trouve être Q.

Je ne vois pas l'erreur de raisonnement qui s'est glissée ici... pourrais tu m'aider à lever cette ambiguïté s'il te plaît ?

Amicalement

[Judoboy]

Merci pour cette précision NightMare. Cela dit, c'est là exactement que je bloque.
Je vois les choses d'une autre manière : entre 2 rationnels contigus, il existe un ensemble infini non dénombrable d'irrationnels, appelons cet intervalle Ci où i est un indice appartenant à un ensemble infini non dénombrable quelconque permettant de distinguer Ci de ses homologues.
Alors, on peut dire que la fonction indicatrice de l'espace des Rationnels est continue par morceaux sur l'union infinie non dénombrable des Ci. Par conséquent, l'ensemble des discontinuités de ma fonction se trouve être Q.

Je ne vois pas l'erreur de raisonnement qui s'est glissée ici... pourrais tu m'aider à lever cette ambiguïté s'il te plaît ?

Amicalement

Non, ta fonction n'est continue en aucun point et tu te compliques la vie pour rien.

Prends la définition de la continuité pour une fonction de R dans R, tu vas vite voir que ta fonction n'est continue nulle part...

Mais comme le disait Nightmare une preuve directe par l'absurde c'est quand même plus naturel.

[Nightmare]

sylwa, ça veut dire quoi "deux rationnels contigus" ?

Sinon, pour la preuve directe, on peut même se passer d'un raisonnement par l'absurde, il suffit de calculer les sommes de Darboux, qui valent respectivement 0 et 1.

[sylwa]

sylwa, ça veut dire quoi "deux rationnels contigus" ?

Sinon, pour la preuve directe, on peut même se passer d'un raisonnement par l'absurde, il suffit de calculer les sommes de Darboux, qui valent respectivement 0 et 1.

Oui, je fais une erreur grossière en imaginant le concept de 2 rationnels contigus.
j'ai du mal à accepter l'idée qu'un ensemble dénombrable puisse être infini...

L'argument des sommes de Darboux est excellent.

Merci pour ton aide Nightmare.

[SimonB]

j'ai du mal à accepter l'idée qu'un ensemble dénombrable puisse être infini...

Etrange remarque : le plus connu des ensembles dénombrables est lui-même infini...

[sylwa]

Non, ta fonction n'est continue en aucun point et tu te compliques la vie pour rien.

Prends la définition de la continuité pour une fonction de R dans R, tu vas vite voir que ta fonction n'est continue nulle part...

Mais comme le disait Nightmare une preuve directe par l'absurde c'est quand même plus naturel.

Merci pour ton aide Judoboy et bonne journée !

[sylwa]

Etrange remarque : le plus connu des ensembles dénombrables est lui-même infini...

Oui Simon et c'est justement à cause de l'identification intuitive que je fais entre un ensemble dénombrable quelconque et l'ensemble des entiers que je m'embrouille !
En outre, mes connaissances en topologie sont quasi inexistantes, ce qui explique pas mal de gaffes dans mes posts.
Je relis en ce moment un cours assez superficiel sur la mesure et l'intégration qui précède un cours sur l'analyse de Fourier avant de m'attaquer au vif du sujet : un cours sur la théorie du signal !
La concision de ce cours de Math entraine une multitude de questions auxquelles je dois renoncer d'avoir des réponses complètes et rigoureuses faute de temps.

[Nightmare]

Je pense au contraire que tu ne devrais pas éluder ces questions si elles t'intéressent, elles te permettront surement d'avoir une meilleur vision de l'objet manipulé.

Le forum est là pour ça, n'hésite pas à nous poser tes questions.

[sylwa]

Je pense au contraire que tu ne devrais pas éluder ces questions si elles t'intéressent, elles te permettront surement d'avoir une meilleur vision de l'objet manipulé.

Le forum est là pour ça, n'hésite pas à nous poser tes questions.

Merci, c'est gentil et bravo à tous pour votre implication dans la vie de ce forum !

[Nightmare]

As-tu réussi à comprendre pourquoi l'indicatrice de Q était discontinue sur R tout entier? Je pense que c'est le point clé.

[Judoboy]

Etrange remarque : le plus connu des ensembles dénombrables est lui-même infini...

Si je ne m'abuse, dénombrable=>infini.

[SimonB]

Cela dépend de la convention. Certains auteurs entendent par "dénombrable" "il existe une injection de cet ensemble dans ", tandis que d'autres veulent dire "équipotent à " (ces derniers parlent d'ensemble "au plus dénombrable" pour le premier cas). Pour ma part, je préfère la première définition...

[Judoboy]

Ok, on m'a toujours donné la deuxième, j'avais jamais vu la première. Enfin c'est pas super grave...