Critere d'integrabilite de Riemann

[Nightmare]

Oui, ici, que l'ensemble des points de continuités est dense.

[quinto]

Ah..dans ce cas c est quand meme pratique d avoir vu la def générale alors en effet...sinon qu est ce que tu entends par "presque partout au sens de baire"?que ca contient un Gdelta dense?

Il me semble qu'une limite de suite de fonctions continue est continue sur un Gdelta dense. (théorème de la limite simple de Banach)

Cela dit, est-ce que ca implique automatiquement le critère mesurable ?

[Nightmare]

Oui quinto, j'ai oublié l'hypothèse de minoration en effet.

[Nightmare]

Quinto > Il me semble que le théorème est de Baire et non de Banach, je me trompe?

[ffpower]

Quinto > Il me semble que le théorème est de Baire et non de Banach, je me trompe?

oui,c est sur c est meme LE theoreme de baire(c est meme pour ceci que le lemme de baire a été inventé)

[quinto]

Possible ...

[ThSQ]

De toute façon l'intégrale de Riemann sert-elle vraiment à autre chose qu'à montrer que toute fonction continue admet une primitive ???

Les traitements "sérieux" se font avec Lebesgue :bad3:

[SimonB]

Les traitements "sérieux" se font avec Lebesgue :bad3:

Ou autre chose que Lebesgue (Denjoy-Perron, etc...).

[quinto]

Il y'a quand même des trucs intéressants à faire avec l'intégrale de Riemann.

[Nightmare]

C'est quand même osé de dire que l'intégrale de Riemann se borne à l'application de calcul de primitive !

[ffpower]

bah c est vrai que ca sert plus a grand chose une fois qu on a lebesgue. c d ailleur pour ca que je n y connait rien en "riemann integrable",vu que je l ai pas vu en prepa et que ca servait plus a rien une fois qu on a vu lebesgue

[quinto]

Ce n'est pas vrai, preuve en est qu'il existe des fonctions qui ont une intégrale de Riemann mais pas une intégrale de Lebesgue et que l'inverse est également vrai.

De plus les fonctions intégrables au sens de Riemann ont de belles propriétés et l'intégrale de Riemann sert aussi d'un point de vue théorique pour construire l'intégrale de Lebesgue par exemple, il est notamment non trivial de prouver l'existence de la mesure de Lebesgue au passage...

L'intégrale de Riemann qui n'est pas difficile à prouver permet de rendre facile la preuve de l'existence de l'intégrale de Lebesgue.

Bref, il ne faut pas cracher dessus et ne pas oublier que c'est un concept intéressant même s'il est plus limité que l'intégrale de Lebesgue dans plusieurs utilisations, notamment dans l'échange limite / intégrale.

[ThSQ]

Toute fonction Riemann-intégrable (au sens propre) sur [a;b] est Lebesgue intégrable (et l'intégrale a la même valeur !).
Le seul exemple où Riemann est "supérieur" est sur le traitement de certaines intégrales impropres. C'est mince.
Lebesgue est l'outil indispensable pour les probabilités, l'analyse de Fourier, l'analyse fonctionnel (théorème de représentation de Riesz), il se comporte correctement vis-à-vis des limites, la généralisation aux intégrales multiples est un vrai bonheur ....

Riemann rend bien service quand on est petit :arme:

[quinto]

C'est un peu dommage pour un scientifique de penser ainsi, mais ma foi libre à toi de penser ce que tu veux...

[quinto]

Lebesgue est l'outil indispensable pour [...] l'analyse fonctionnel (théorème de représentation de Riesz)

Preuve que tu ne sais pas bien de quoi tu parles, Rudin (qui n'est probablement pas le plus imbécile des mathématiciens) introduit la mesure de Lebesgue comme l'unique mesure prolongeant la fonctionnelle qui a une fonction associe son intégrale de Riemann via le théorème de Riesz. C'est d'ailleurs la facon la plus naturelle d'introduire la mesure de Lebesgue comme je le signalais au post précédent.

Cela dit et comme tu sembles très sur de toi et un tantinet suffisant, je vais te laisser penser ce que tu veux de ce que tu connais finalement assez peu.

[ffpower]

je suis a peu pres d accord.Il était probablement indispensable de créer Riemann dans au départ mais maintenant,elle a fait son temps.On a reussi a généraliser la notion(le "on" est impersonnel bien sur lol),autant garder maintenant la notion généralisée.Citez moi donc un exemple ou Riemann serait plus utile que Lebesgue.Y aurait il des résultats spécifiques sur les fonctions Riemann intégrable qui sont faux pour une fonction borelienne quelconque,et qui permettrait de résoudre un probleme ou on pourrait pas la theorie générale de Lebesgue(ou l utiliser difficilement).Je n ai jamais rien vu de tel,mais ce n est en effet pas impossible,et si tel est le cas je changerai probablement d avis

[ffpower]

Preuve que tu ne sais pas bien de quoi tu parles, Rudin (qui n'est probablement pas le plus imbécile des mathématiciens) introduit la mesure de Lebesgue comme l'unique mesure prolongeant la fonctionnelle qui a une fonction associe son intégrale de Riemann via le théorème de Riesz. C'est d'ailleurs la facon la plus naturelle d'introduire la mesure de Lebesgue comme je le signalais au post précédent.

Cela dit et comme tu sembles très sur de toi et un tantinet suffisant, je vais te laisser penser ce que tu veux de ce que tu connais finalement assez peu.

Oui ca par contre je suis d accord que c est utile pour creer Lebesgue(bien que loin d etre indispensable),et meme au dela de ca,je pense qu il FAUT voir Riemann avant de voir Lebsgue,ne serait ce que pour arriver a comprendre qu est ce que représente une integrale,et ce serait absurde de virer Riemann des programmes.Cela dit,moi ce que je me demande,c est est ce que Riemann apporte encore quelque chose une fois que l on connait Lebesgue

[Arkhnor]

Salut.

Sans vouloir rentrer dans le débat, on peut remarquer que l'intégrale de Riemann se prête assez bien à certaines généralisations, comme l'intégrale de jauge. (Kurzweil-Henstock)

[quinto]

Attention ffpower, je n'ai pas dit que l'intégrale de Riemann était meilleure ou plus utile, je dis qu'il ne faut pas avoir la vision triviale que Lebesgue = géniale Riemann = pas beau.

En dehors du contexte historique il faut voir comment on construit l'intégrale de Lebesgue, on peut facilement s'en sortir avec ce que je dis plus haut et qui est fait dans le très bon livre "Real and Complex Analysis" De W.Rudin et qui est probablement la façon la plus naturelle de construire l'intégrale par rapport à la mesure de Lebesgue.

Même sans ça, l'intégrale de Riemann est intéressante par rapport aux fonctions qui lui sont intégrables. La classe des fonctions Riemann intégrable est si je ne m'abuse la classe des fonctions réglées qui ont de belles propriétés.

Ca n'a pas vraiment de sens de dire que l'intégrale de Riemann ne sert à rien, quand on intègre on intègre, que ce soit Riemann ou Lebesgue. De plus, l'intégrale de Lebesgue n'est pas non plus parfaite et il en existe des versions "améliorées". De plus d'un point de vue pédagogique, il n'est pas intéressant voire même stupide de ne pas considérer dans un premier temps l'intégrale de Riemann.

Dire que l'intégrale de Riemann est nulle et que l'intégrale de Lebesgue est un coup de pur génie n'a pas de sens. Dire que l'intégrale de Lebesgue est bien mieux adaptée aux besoins d'aujourd'hui, qu'elle permet plus de souplesse est en revanche incontestable.

Il faut faire une nuance .

[Arkhnor]

La classe des fonctions Riemann intégrable est si je ne m'abuse la classe des fonctions réglées qui ont de belles propriétés.

Il existe il me semble des fonctions Riemann-intégrables, qui ne sont pas réglées, mais je n'ai plus de contre-exemple en tête.
Les fonction réglées sont juste une classe de fonction Riemann-intégrables parmi d'autres (classe suffisante pour des considérations élémentaires)