Groupes - morphismes

[capitaine nuggets]

Bonjour, je suis tombé sur cette question qui me pose problème :

Soit un groupe et deux sous-groupes de .
Montrer que si est un sous-groupe de alors ou .
J'ai essayé à l'aide d'un raisonnement par contraposée, mais je me perds vite ...

Cette question a fait germer une autre question dans ma tête :
Si est un sous-groupe de , a-t-on toujours ?

J'attends avec impatience votre aide !

[Pianoo]

Soit un groupe et deux sous-groupes de .
Montrer que si est un sous-groupe de alors ou .
J'ai essayé à l'aide d'un raisonnement par contraposée, mais je me perds vite ...

Oui par contraposée ça se fait bien.
Tu supposes que n'est pas inclus dans et que n'est pas inclus dans , tu as donc deux éléments et .
A partir de ces deux éléments tu peux montrer que n'est pas un groupe.

Si est un sous-groupe de , a-t-on toujours ?

Oui. "Etre un sous-groupe de G" signifie déjà "être inclus dans G".

[capitaine nuggets]

Oui par contraposée ça se fait bien.
Tu supposes que n'est pas inclus dans et que n'est pas inclus dans , tu as donc deux éléments et .
A partir de ces deux éléments tu peux montrer que n'est pas un groupe.

non, décidément, je ne parviens pas à montrer que n'est pas un sous-groupe de

[Pianoo]

Tu veux montrer que n'est pas un groupe (sous-groupe on s'en fiche dans le fond).

Tu as
Mais que peux-tu dire de l'élément ?

[capitaine nuggets]

Tu veux montrer que n'est pas un groupe (sous-groupe on s'en fiche dans le fond).

Tu as
Mais que peux-tu dire de l'élément ?

Je ne sais pas.

donc
mais je ne sais pas quoi en conclure sur

[Pianoo]

Tu as mais

[capitaine nuggets]

Tu as mais

Logique pour montrer que n'est pas un sous-groupe.

Mais je ne vois pas pourquoi ...

[Pianoo]

Suppose que et montre que ce qui en contradiction avec ce que l'on avait avant ...

[capitaine nuggets]

Suppose que et montre que ce qui en contradiction avec ce que l'on avait avant ...

Ah !

Si alors ou .
Or et donc on a ni l'un ni l'autre.

[capitaine nuggets]

Ai-je bon ?

Du coup, peut-on généraliser ?
Si un groupe et , sous-groupes de alors il existe tel que et ?

Si oui, j'utiliserai un raisonnement par récurrence.

[capitaine nuggets]

Suppose que et montre que ce qui en contradiction avec ce que l'on avait avant ...

Ah !

Si alors ou .
Or et donc on a ni l'un ni l'autre.
Ai-je bon ?

Du coup, peut-on généraliser ?
Si un groupe et , sous-groupes de alors il existe tel que et ?

Si oui, j'utiliserai un raisonnement par récurrence.

[savancosinus]

Bonjour,

Ah !

Si alors ou .
Or et donc on a ni l'un ni l'autre.
Ai-je bon ?

Oui.

Du coup, peut-on généraliser ?
Si un groupe et , sous-groupes de alors il existe tel que et ?

Si oui, j'utiliserai un raisonnement par récurrence.

Non.
Ton hypothèse est trop faible.
L'ensemble vérifie ton hypothèse mais n'est pas un groupe.

Une hypothèse serait plutôt :
(ce qui fait de un groupe).
ou (ce qui fait de un groupe).
...
ainsi de suite ...

Ces hypothèses sont peut-être un peu trop fortes (à voir ...) mais ça marche ^^

[Pianoo]

Bonjour,

Ah !

Si alors ou .
Or et donc on a ni l'un ni l'autre.
Ai-je bon ?

Oui.

Du coup, peut-on généraliser ?
Si un groupe et , sous-groupes de alors il existe tel que et ?

Si oui, j'utiliserai un raisonnement par récurrence.

Non.
Ton hypothèse est trop faible.
L'ensemble vérifie ton hypothèse mais n'est pas un sous-groupe de .

Une hypothèse serait plutôt :
(ce qui fait de un groupe).
ou (ce qui fait de un groupe).
...
ainsi de suite ...

Ces hypothèses sont peut-être un peu trop fortes (à voir ...) mais ça marche ^^

[capitaine nuggets]

Bonjour !

ok, merci pour ces informations.

Je sais que est un anneau commutatif.
Pourriez-vous me confirmer que en est un aussi ?

J'ai vu que dans plusieurs exercices, on est amené à étudier l'ensemble avec muni de l'addition et de la multiplication usuelle.
Toutefois, j'ai pu remarque que, dans ce type d'exercice, n'est jamais un carré parfait, pourquoi ?

[Nightmare]

Hello,

oui, (C,+,x) est un anneau commutatif et plus généralement un corps.

Concernant les Z[V(n)], si n est un carré parfait, alors Z[V(n)]=Z donc ce cas n'est pas très intéressant.

[capitaine nuggets]

Hello,

oui, (C,+,x) est un anneau commutatif et plus généralement un corps.

Concernant les Z[V(n)], si n est un carré parfait, alors Z[V(n)]=Z donc ce cas n'est pas très intéressant.

Evidemment oui !
Peux-tu me rappeler ce qu'est un corps déjà ?
On a vu ça en coup de vent cette année

[Nightmare]

C'est un anneau dans lequel tous les éléments non nuls sont inversibles (ou autrement dit, qu'ils ont un symétrique pour la loi multiplicative).

(C,+,x) est un corps : L'inverse du complexe z est 1/z

(Z,+,x) est un anneau mais pas un corps : 2 n'a pas d'inverse dans Z par exemple.

[capitaine nuggets]

C'est un anneau dans lequel tous les éléments non nuls sont inversibles (ou autrement dit, qu'ils ont un symétrique pour la loi multiplicative).

(C,+,x) est un corps : L'inverse du complexe z est 1/z

(Z,+,x) est un anneau mais pas un corps : 2 n'a pas d'inverse dans Z par exemple.

Ok.
Encore une question, sur un exercice, je suis tombé sur le terme monoïde et algèbre.
Peux-tu m'en donner une définition complète et surtout compréhensible, parce que sur google, c'est pas toujours très clair malheureusement.

Merci

[vincentroumezy]

Salut !
Un monoide est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative, et d'un neutre.
Une algèbre est un ensemble muni de trois lois E(+,x,*), E(+,*) étant un espace vectoriel, et x, loi interne associative et distributive par rapport à +, et possède un neutre.

[capitaine nuggets]

Salut !
Un monoide est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative, et d'un neutre.
Une algèbre est un ensemble muni de trois lois E(+,x,*), E(+,*) étant un espace vectoriel, et x, loi interne associative et distributive par rapport à +, et possède un neutre.

Donc si dans un monoïde, tout élément admet un symétrique dans ce même monoïde, alors c'est un groupe ?

Encore, une petite question : je rencontre parfois, le mot "unitaire" pour un anneau, que signifie-t-il ?