Groupes - morphismes

[vincentroumezy]

Ah mais oui bien-sûr : G/R = {classes d'équivalences}.

C'est bon, je pense avoir compris en majorité.

Néanmoins, je ne comprends pas vraiment le déroulement et le rôle de chaque questions.
Pourrais-tu m'expliquer aussi, pourquoi commencer par poser une relation au début ?

La poser permet d'utiliser les classes d'équivalences (notamment le fait qu'elles forment une partition de G), et de trouver une bijection simplement, entre H et cl(x).

[capitaine nuggets]

La poser permet d'utiliser les classes d'équivalences (notamment le fait qu'elles forment une partition de G), et de trouver une bijection simplement, entre H et cl(x).

Ok merci de tes explications.

Aurais-tu une autre démonstration pour démontrer le théorème de Lagrange ?

[vincentroumezy]

Je n'en connais pas d'autres (ce qui ne veut pas dire qu'il n'en existe pas d'autres).

[capitaine nuggets]

Je n'en connais pas d'autres (ce qui ne veut pas dire qu'il n'en existe pas d'autres).

Ca coule de source.

Dis-moi, n'aurais-tu pas quelque problème classique ou intéressant niveau fin L1 sur les structures algébriques, que je puisse voir où j'en suis ?

[Nightmare]

Hello,

le principe de la démo de Lagrange que tu as faite est très simple :

On décompose le groupe G de la manière suivante :

On prend un élément quelconque dans G et on effectue tous les produits possible où h décrit H. Il y en autant que d'éléments dans H.

Ca nous donne une première classe qui a card(H) éléments.

Parmi les éléments restants dans G, c'est à dire ceux qui ne sont pas de la forme h.g0, on en choisit un quelconque , et de même on effectue tous les produits avec h décrivant H. On obtient une deuxième classe qui a aussi card(H) éléments.

On réitère en prenant un élément g2 que l'on a pas encore rencontré dans les calculs précédents et caetera jusqu'à épuisement des éléments de G.

Au final, on aura décomposé G en un certain nombre de classes qui ont toutes le cardinal de H. On obtient bien alors que card(G) est un multiple de card(H) et que le quotient est le nombre de classes construites précédemment.

De façon symbolique :

Avec p=card(H) :

[capitaine nuggets]

Hello,

le principe de la démo de Lagrange que tu as faite est très simple :

On décompose le groupe G de la manière suivante :

On prend un élément quelconque dans G et on effectue tous les produits possible où h décrit H. Il y en autant que d'éléments dans H.

Ca nous donne une première classe qui a card(H) éléments.

Parmi les éléments restants dans G, c'est à dire ceux qui ne sont pas de la forme h.g0, on en choisit un quelconque , et de même on effectue tous les produits avec h décrivant H. On obtient une deuxième classe qui a aussi card(H) éléments.

On réitère en prenant un élément g2 que l'on a pas encore rencontré dans les calculs précédents et caetera jusqu'à épuisement des éléments de G.

Au final, on aura décomposé G en un certain nombre de classes qui ont toutes le cardinal de H. On obtient bien alors que card(G) est un multiple de card(H) et que le quotient est le nombre de classes construites précédemment.

De façon symbolique :

Avec p=card(H) :

Wow merci pour ce développement Nightmare !

Je n'en connais pas d'autres (ce qui ne veut pas dire qu'il n'en existe pas d'autres).

Ca coule de source.

Dis-moi, n'aurais-tu pas quelque problème classique ou intéressant niveau fin L1 sur les structures algébriques, que je puisse voir où j'en suis ?

[vincentroumezy]

Ok. On prend G un groupe, H1 et H2 deux sous groupes de G.
Supposons que soit un sg de G, montres que H1 inclus dans H2 ou H2 inclus dans H1.
Si les ordres de H1 et H2 sont premiers entre eux, que peut on dire de ??

[capitaine nuggets]

Ok. On prend G un groupe, H1 et H2 deux sous groupes de G.
Supposons que soit un sg de G, montres que H1 inclus dans H2 ou H2 inclus dans H1.
??

Cet exercice a été traité au début de ce topic ...

étant un sous-groupe de et , si les ordre de et sont premiers entre eux alors l'ordre de vaut donc {élément neutre de (ou )}

[vincentroumezy]

Autant pour moi.
Soit G un groupe quelconque, tels que xy est d'ordre fini p, montres que yx est aussi d'ordre p.

[capitaine nuggets]

Soit l'élément neutre dans .
est d'ordre fini équivaut à .
Par associativité, il vient : donc .
Enfin, en composant par , on a : .

[vincentroumezy]

Ca marche !
Soit G un groupe de neutre e.
On suppose que .
1) Montres que c'est un groupe abélien (classique et facile).
2) Prouves que si G est fini différent de {e}, il existe un entier n tel que G soit isomorphe à (en tant que groupe additif).

[capitaine nuggets]

Soit l'élément neutre dans .
est d'ordre fini équivaut à .
Par associativité, il vient : donc .
Enfin, en composant par , on a : .

Un doute me vient à l'esprit : ai-je montrer que p est le plus petit entier ?

Ca marche !
Soit G un groupe de neutre e.
On suppose que .
1) Montres que c'est un groupe abélien (classique et facile).
2) Prouves que si G est fini différent de {e}, il existe un entier n tel que G soit isomorphe à (en tant que groupe additif).

1°) Par stabilité : .
De plus, si alors donc devient d'où .
2°) Là je sèche complètement.

[capitaine nuggets]

Ca marche !
Soit G un groupe de neutre e.
On suppose que .
1) Montres que c'est un groupe abélien (classique et facile).
2) Prouves que si G est fini différent de {e}, il existe un entier n tel que G soit isomorphe à (en tant que groupe additif).

1°) Par stabilité : .
De plus, si alors donc devient d'où .
2°) Là je sèche complètement.

[vincentroumezy]

Sais tu ce qu'est un système générateur minimal d'un groupe ? Sinon, ça va être vraiment dur.

[capitaine nuggets]

Sais tu ce qu'est un système générateur minimal d'un groupe ? Sinon, ça va être vraiment dur.

Jamais entendu parler, mais j'ai trouver ça :

Soit un groupe
1. Le groupe est de type fini s'il existe un partie de telle que .
La partie forme un système générateur minimal s'il n'existe pas de partie de telle que .
4. Si est monogène fini, alors on dit que est cyclique.

[capitaine nuggets]

Sais tu ce qu'est un système générateur minimal d'un groupe ? Sinon, ça va être vraiment dur.

Jamais entendu parler, mais j'ai trouver ça :

Soit un groupe
1. Le groupe est de type fini s'il existe un partie de telle que .
La partie forme un système générateur minimal s'il n'existe pas de partie de telle que .
4. Si est monogène fini, alors on dit que est cyclique.

Petite parenthèse : Comment montrer que la composition de fonctions est associative ?

[vincentroumezy]

C'est ça.
Pour ta parenthèse, tes fonctions sont, je supposes d'une variable réelle ?

fo(goh), c'est la fonction qui fait agir sur x goh, puis f, c'est à dire h puis g puis f, tout comme (fog)oh.
Je sais pas si c'est super rigoureux, mais our moi, c'est quasiment la définition.

[capitaine nuggets]

C'est ça.
Pour ta parenthèse, tes fonctions sont, je supposes d'une variable réelle ?

fo(goh), c'est la fonction qui fait agir sur x goh, puis f, c'est à dire h puis g puis f, tout comme (fog)oh.
Je sais pas si c'est super rigoureux, mais pour moi, c'est quasiment la définition.

D'accord mais n'étant pas familier avec cette notion de système générateur minimal, je ne vois pas comment résoudre la question 2°)

Ok, merci, c'était une petite question qui m'est venue comme ça.

[capitaine nuggets]

Une autre petite parenthèse :

j'ai dressé les tables de composition des monoïdes et et ai établis qu'ils s'agissait de groupes abélien isomorphes.

J'ai donc essayé de cherche un morphisme et j'ai trouvé l'application suivante :



Définie-t-elle bien un morphisme ?
A-t-on bien ?

Pour ma part, tout baigne : s'il y a une erreur, je ne la vois pas.
Je m'en remet donc à vous.

[Doraki]

Tout est très bien (à part que tu as écrit Z/2Z à la place de (Z/2Z)²) .
Il y a 3 isomorphismes possibles.

Peux-tu trouver les deux autres ?