J'ai fait un petit schéma résumant les principaux sous-groupes de
C'est très enfantin, mais j'ai quand même l'impression qu'il y a quelque chose. Déjà j'aimerais bien savoir si ce que j'ai écrit est correct.
Légende :
Note :
Groupes, morphismes, automorphismes, etc.
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Groupes, morphismes, automorphismes, etc.
par chombier » 28 Avr 2018, 19:38
Bonjour,
J'ai fait un petit schéma résumant les principaux sous-groupes de)
schéma que je trouve assez parlant, j'aimerais bien avoir votre avis.
C'est très enfantin, mais j'ai quand même l'impression qu'il y a quelque chose. Déjà j'aimerais bien savoir si ce que j'ai écrit est correct.
Légende :
)
est un groupe.
, \cdot) < (\mathcal{F}(G, G), \cdot))
 = Hom(G) \cap S_G)
, \circ) \triangleleft (Aut(G), \circ) < (S_G, \circ))
Note :
, \cdot, \circ))
est un anneau et )^{\times} = Aut(G))
J'ai fait un petit schéma résumant les principaux sous-groupes de
C'est très enfantin, mais j'ai quand même l'impression qu'il y a quelque chose. Déjà j'aimerais bien savoir si ce que j'ai écrit est correct.
Légende :
Note :
Re: Groupes, morphismes, automorphismes, etc.
par Ben314 » 29 Avr 2018, 09:29
Salut,
C'est un peu "plus que bizarre" ton truc vu que, par exemple,)
c'est bien un groupe, et même un sous groupe du groupe des bijections de G->G pour la loi de composition (forcément !!!), mais c'est pas du tout un sous groupe de ,.))
(si ce dernier désigne bien l'ensemble des fonctions de G->G muni du produit)
Idem pour tout ce qui touche à l’allègre "mélange" des loi . (produit des fonctions issue du produit sur G) et o (composition des fonctions).
Il y a certes des inclusions ensemblistes entre (par exemple))
et , mais n'est évidement pas un sous groupe de vu que ce dernier n'est un groupe que pour le produit et pas pour la composition alors que , c'est le contraire.
P.S. Et lorsque tu utilise à la fois la structure de produit de fonctions (issue du produit sur G) et celle de composition des applications, ben faut faire super gaffe à ne pas utiliser la notations
vu qu'on sait pas ce qu'elle désigne (est-ce \big)^{\!-1})
où le -1 désigne l'inverse dans G ou bien \mapsto x)
?)
C'est un peu "plus que bizarre" ton truc vu que, par exemple,
Idem pour tout ce qui touche à l’allègre "mélange" des loi . (produit des fonctions issue du produit sur G) et o (composition des fonctions).
Il y a certes des inclusions ensemblistes entre (par exemple)
P.S. Et lorsque tu utilise à la fois la structure de produit de fonctions (issue du produit sur G) et celle de composition des applications, ben faut faire super gaffe à ne pas utiliser la notations
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: Groupes, morphismes, automorphismes, etc.
par chombier » 29 Avr 2018, 09:40
Il faut juste voir ça comme un schéma ensembliste (un diagramme de Voronoï si tu préfères).
bien est un sous-ensemble de mais pas un sous-groupe de , \cdot))
.
Relations ensemblistes :
 \subset Aut(G) \subset S_G \subset \mathcal{F}(G, G))
 \subset Aut(G) \subset Hom(G) \subset \mathcal{F}(G, G))
 = S_G \cap Hom(G))
Relations de structures de groupe :
est un groupe.
Relations ensemblistes :
Relations de structures de groupe :
Re: Groupes, morphismes, automorphismes, etc.
par chombier » 29 Avr 2018, 09:45
C'est vrai que si on mélange Aut(G) et Hom(G), deviens très ambigu. Est-ce la bijection réciproque ou la fonction )^-1)
? Rien ne permet de le dire...
Modifié en dernier par chombier le 29 Avr 2018, 10:47, modifié 1 fois.
Re: Groupes, morphismes, automorphismes, etc.
par Ben314 » 29 Avr 2018, 10:15
Exercice : Soit )
un groupe tel qu'il existe un morphisme de groupe bijectif 
dont la bijection réciproque soit \big)^{-1})
où \big)^{-1})
désigne l'inverse de )
dans 
.
1) Montrer que est commutatif.
2) Quels sont les
tels qu'il existe un tel morphisme 
pour le groupe )
?
1) Montrer que
2) Quels sont les
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Re: Groupes, morphismes, automorphismes, etc.
par chombier » 29 Avr 2018, 10:50
1) Soit
G est commutatif.
2) Tous les
L'application
Re: Groupes, morphismes, automorphismes, etc.
par Ben314 » 29 Avr 2018, 11:50
non, l'hypothèse, c'est que la bijection réciproque dechombier a écrit:
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: Groupes, morphismes, automorphismes, etc.
par chombier » 29 Avr 2018, 16:05
D'accord, en fait si =y)
, )^{-1} = x)
, et donc =x^{-1})
:
 = x^{-1})
et 
1) Soient
, , =y')
 = f(x) f(x') = yy')
 = f(y) f(y') = x^{-1} (x')^{-1})
 =(x x')^{-1} = (x')^{-1} x^{-1})
^{-1} = (x')^{-1} x^{-1})
est commutatif
2) Soit un morphisme de )
Posons)
,
) = f(\overline{\lambda}) = \overline{\lambda}^2 = -1)
Il faut donc qu'il existe
tel que
Par exemple :
,  = 2 \overline{k})
et ) = 4 \overline{k} = -\overline{k})
,  = 3 \overline{k})
et ) = 9 \overline{k} = -\overline{k})
, et
...
,  = 12 \overline{k})
et ) = 144 \overline{k} = -\overline{k})
1) Soient
2) Soit
Posons
Il faut donc qu'il existe
Par exemple :
...
Re: Groupes, morphismes, automorphismes, etc.
par Ben314 » 29 Avr 2018, 16:33
Oui, c'est ça.
Pour le 1), tu peut aussi dire qu'il est bien connu que l'application x->x^(-1) est un morphisme ssi G est commutatif (et là, c'est un morphisme vu que c'est fof)
Pour le 1), tu peut aussi dire qu'il est bien connu que l'application x->x^(-1) est un morphisme ssi G est commutatif (et là, c'est un morphisme vu que c'est fof)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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