Groupes - morphismes

par **capitaine nuggets** » 25 Juil 2012, 10:45

D'accord.

Je m'attaque maintenant à un grand classique, du moins je crois :

Montrer que tous les sous-groupes de

sont de la forme

avec

.

Mais je ne vois pas comment y parvenir :triste:

par **vincentroumezy** » 25 Juil 2012, 12:16

capitaine nuggets a écrit:D'accord.

Je m'attaque maintenant à un grand classique, du moins je crois :

Montrer que tous les sous-groupes de sont de la forme avec .

Mais je ne vois pas comment y parvenir :triste:

Ah oui, grand classique !
Montres d'abord que tous les

sont des sous-groupes de Z.
Ensuite, prends H un sg de Z (différent de {0} et Z), et montres qu'il est de la forme nZ

par **capitaine nuggets** » 26 Juil 2012, 00:25

vincentroumezy a écrit:Ah oui, grand classique !
Montres d'abord que tous les sont des sous-groupes de Z.
Ensuite, prends H un sg de Z (différent de {0} et Z), et montres qu'il est de la forme nZ

Ok :++:

-

;
- Soient

.
Dans ce cas, il existe

tels que

et

donc

.

Donc tous les groupes

sont des sous-groupes du groupe

.

Par contre, je n'y arrive pas :cry:

par **vincentroumezy** » 26 Juil 2012, 10:36

Soit H un sous groupe de

, si H={0}, alors H=0Z, ok. Si H=Z, alors H=1*Z, ok.
Si H n'est ni {0} ni Z. Prenons n le plus élément strictement positif de H (il existe)
Montrons alors que H=nZ par double inclusion (nZ inclus dans H est simple, l'autre est plus ardue).

par **capitaine nuggets** » 26 Juil 2012, 21:28

Nam vraiment je ne vois pas bien comment faire.
C'est assez obscur pour moi.

Puis d'ailleurs, je ne vois pas pourquoi, il faudrait montrer ça.

par **vincentroumezy** » 26 Juil 2012, 22:00

Si tu prends un sous groupe quelconque de Z et que tu montres qu'il est de la forme nZ, tu as bien réussi, non ?
Il existe (i,j) j positif, jor j est positif et strictement inférieur à n, donc j=0, donc x=in, donc H=nZ.

par **capitaine nuggets** » 27 Juil 2012, 03:49

vincentroumezy a écrit:Si tu prends un sous groupe quelconque de Z et que tu montres qu'il est de la forme nZ, tu as bien réussi, non ?

Oui.

vincentroumezy a écrit:Il existe (i,j) j positif, j<n tels que x=in+j. Quelque soit le signe de i, in appartient à H, donc j=x-in appartient à H.
or j est positif et strictement inférieur à n, donc j=0, donc x=in, donc H=nZ.

Là je comprends pas pourquoi tu sors un "il existe (i,j)".
Qu'est-ce que x ?

Cette partie-là sert à montrer quoi ?

par **vincentroumezy** » 27 Juil 2012, 08:49

capitaine nuggets a écrit:Oui.

Là je comprends pas pourquoi tu sors un "il existe (i,j)".
Qu'est-ce que x ?

Cette partie-là sert à montrer quoi ?

Le couple (i,j) c'est simplement une division euclidienne.
J'ai oublié de définir x, c'est un élément quelconque de H.
Regarde la conclusion, qu'a t'on démontré ?

par **capitaine nuggets** » 27 Juil 2012, 09:01

Alors si j'ai bien compris :

1re étape : on vérifie que tous les nZ sont des sous-groupes de Z ;
2e étape : on montre qu'un sous-groupes de Z est de la forme nZ ;
3e étape : on montre que tout les sous-groupes sont nZ.

par **vincentroumezy** » 27 Juil 2012, 09:21

capitaine nuggets a écrit:Alors si j'ai bien compris :

1re étape : on vérifie que tous les nZ sont des sous-groupes de Z ;
2e étape : on montre qu'un sous-groupes de Z est de la forme nZ ;
3e étape : on montre que tout les sous-groupes sont nZ.

Pas vraiment, à l'étape 2 on montre que tous ( puisque H est quelconque) les sg de Z sont des nZ, ce qui rend inutile l'étape 3.
En fait, c'est une doublie inclusion pour montrer que l'ensemble des sous groupes de Z est l'ensemble des nZ (on prend un nZ on montre que c'est un sg de Z, et réciproquement, on prend un sg de Z et on montre que c'est un nZ).

par **capitaine nuggets** » 27 Juil 2012, 18:43

vincentroumezy a écrit:En fait, c'est une doublie inclusion pour montrer que l'ensemble des sous groupes de Z est l'ensemble des nZ (on prend un nZ on montre que c'est un sg de Z, et réciproquement, on prend un sg de Z et on montre que c'est un nZ).

Ah ok, je comprends mieux :we:

par **capitaine nuggets** » 28 Juil 2012, 14:13

Bonjour !

J'aimerais à présent montrer que l'application

est un isomorphisme de corps.

Pour cela, je veux montrer que c'est un morphisme pour l'addition et la multiplication et que l'application

est bijective.

Soient

tels que

et

.

;

et

donc

;

Supposons que

, montrons qu'alors

.

équivaut à

.
Si

alors

et donc

;
Si

alors

donc

ce qui est impossible.
Par conséquent,

est injective.

PAr contre, je n'arrive pas à montrer la surjectivité :triste:

par **Doraki** » 28 Juil 2012, 14:21

f(z) = z^12-35 ?

par **capitaine nuggets** » 28 Juil 2012, 14:51

Doraki a écrit:f(z) = z^12-35 ?

Oups oui, j'ai oublié de préciser que

par **Doraki** » 28 Juil 2012, 15:06

ok, donc pour la surjectivité, pour tout x et y réels, tu cherches deux réels a et b tels que a-ib = x+iy ?

par **capitaine nuggets** » 28 Juil 2012, 15:20

Doraki a écrit:ok, donc pour la surjectivité, pour tout x et y réels, tu cherches deux réels a et b tels que a-ib = x+iy ?

Oui je suis d'accord, mais je n'arrive pas à avancer.

par **Doraki** » 28 Juil 2012, 15:49

que penses-tu de prendre a=x et b= -y ?

par **capitaine nuggets** » 28 Juil 2012, 15:55

Doraki a écrit:que penses-tu de prendre a=x et b= -y ?

En fait, je dois t'avouer que je suis un peu confus.
D'habitude, les fonctions que je traite sont de R dans R donc c'est plus facile (en général) parce que j'ai l'habitude mais là...

Tu pourrais me développer ton idée stp ?

par **Doraki** » 28 Juil 2012, 16:38

ben par exemple, le nombre complexe dont le conjugué est 27+14i, c'est 27-14i.

par **capitaine nuggets** » 28 Juil 2012, 17:19

Ah oui, en fait c'est comme si on prenais une fonction de

dans

où, à tout couple

on associe

.

Du coup, si on pose

alors

donc

.
On a par conséquent, montré que, pour tout couple de réels

, il existe un couple de réels

tels que

. D'où

est injective.

--> Est-ce que

et

sont deux écritures de sens différents ?

--> Peut-on dire que les fonctions

et

définies par :

et

,
sont isomorphes ?

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