Groupes - morphismes

[vincentroumezy]

Donc si dans un monoïde, tout élément admet un symétrique dans ce même monoïde, alors c'est un groupe ?

Encore, une petite question : je rencontre parfois, le mot "unitaire" pour un anneau, que signifie-t-il ?

Oui.
Un anneau unitaire est un anneau pour lequel la loi multiplicative admet un neutre noté 1 (d'où "unitaire"). En pratique, dire "anneau" implique qu'l soit unitaire (seule une minorité de gens ne le définissent pas ainsi à confirmer).

[capitaine nuggets]

Maintenant, j'aimerais montrer que si E désigne un ensemble, est un groupe abélien.

Toutefois, mes connaissances sur la différence symétrique étant limitées, je ne parviens pas à le prouver.
Voici par quoi j'ai commencer :

Soient .
, donc est stable dans ;
donc admet dans , \empty pour élément neutre ;
, donc tout élément de P(E) est son propre symétrique pour .

C'est à l'associativité que je bloque : .
A ce qui paraît, il faudrait utiliser la fonction appelée "caractéristique" définie par .
Mais je ne vois pas comment l'utiliser pour montrer l'associativité de .
De plus, je ne comprends pas vraiment le sens de cette fonction...

[egan]

Pour la stabilité, regarde bien ce que tu as écrit.

Pour montrer l'associativité, tu peux utiliser les résultats suivants:





Tu peux développer en mode brute force et ça passe.

[Nightmare]

Hello,

l'introduction de la fonction caractéristique permet de transposer les opérations ensemblistes en opérations arithmétiques simples dans Z/2Z.

On peut montrer par exemple que deux ensembles sont égaux s'ils ont la même fonction caractéristique. De même, A est inclus dans B si 1A < 1B.

Plus intéressant, on peut montrer que .

A partir de là, on peut donner une expression de et de et montrer qu'elles sont égales.

[capitaine nuggets]

montrer que si E désigne un ensemble, est un groupe abélien.

J'ai tenu compte de vos remarque et les ai exploitée.

Stabilité :
Soient .
, donc est stable dans ;

Element neutre :
donc admet dans , pour élément neutre ;

Symétrique :
, donc tout élément de est son propre symétrique pour .

Associativité :
1re méthode : A l'aide de la fonction indicatrice :
En me servant de ton égalité Nightmare :









Par suite, on a .
En me servant de ta propriété "Deux ensembles sont égaux si et seulement si leurs fonctions indicatrices associées sont égales", j'en conclut qu'on a .
Par conséquent, la différence symétrique est bien associative.

2e méthode : mode "brute force"
Je n'y suis pas arrivé, je me noie dans les calculs.
Mon problème vient surement du fait que je ne sais pas trop où je dois aller...


Tes deux propositions m'intéressent Nightmare :

J'ai essayé de démontrer la première, mais bon, ce que j'ai fait me semble un peu foireux par moment :

Proposition 1 : Deux ensembles et sont égaux si et seulement si les fonctions indicatrices associées à E et F sont égale, ou encore : .


Supposons que , montrons qu'alors i.e. .
Par définition de la fonction indicatrice :


Or donc les propositions et sont équivalentes à et ce qui est faux.
Contrairement à la proposition : qui est équivalente à qui est vraie, donc :

.



Supposons que F, montrons qu'alors .


Or
Donc ?

Ensuite, j'ai essayé de montré la seconde, mais là je n'y suis pas parvenu :

Proposition 2 : .

Merci de m'indiquer une idée de départ.


Enfin, j'aimerais savoir comment faire pour établir des formules comme celles que tu m'as donnée :
,
parce que, pour ma part, j'ai montrer cette égalité en développant les deux membres et en montrant qu'ils sont
égaux, mais comment faire, si l'ont doit partir de sans avoir d'indice pour obtenir le second membre ?

[Nightmare]

Hello,

c'est ok pour l'associativité.

Concernant la propriété 1E=1F E=F, ce que tu as fait est bon mais un poil trop compliqué.

Tout d'abord, il est en réalité plus simple de prouver que E inclus dans F 1E E=F" en découle, puisque E=F est équivalent à (E inclus dans F et F inclus dans E).

Pour montrer que E inclus dans F 1E < 1F, on utilise une méthode usuelle quand on travaille avec des inclusions d'ensemble, qui consiste à traduire E inclus dans F par sa simple traduction en terme d'élément : pour tout élément x dans E, x est aussi dans F.

Ainsi :

Soit x dans E, alors x est dans F, on a donc 1E(x)=1 et 1F(x)=1 donc 1E(x) < 1F(x)
Si x n'est pas dans E, 1E(x)=0. Mais soit x est dans F, dans ce cas 1F(x)=1, soit il ne l'est pas et 1F(x)=0. Dans les deux cas , 1E(x)=0 < 1F(x).

Dans tous les cas, 1E(x) < 1F(x), on a donc ce qu'on veut.

Concernant l'expression de 1(A delta B), tu as deux possibilités :

1) Montrer que 1(A delta B) et 1A+1B-2*1A*1B sont égaux. Pour ça, on montre que quelque soit l'élément x,

2) On part du fait que (la barre désigne le complémentaire dans E) et on développe 1(A delta B) à partir de ça.

[capitaine nuggets]

Hello,

c'est ok pour l'associativité.

Concernant la propriété 1E=1F E=F, ce que tu as fait est bon mais un poil trop compliqué.

Tout d'abord, il est en réalité plus simple de prouver que E inclus dans F 1E E=F" en découle, puisque E=F est équivalent à (E inclus dans F et F inclus dans E).

Pour montrer que E inclus dans F 1E < 1F, on utilise une méthode usuelle quand on travaille avec des inclusions d'ensemble, qui consiste à traduire E inclus dans F par sa simple traduction en terme d'élément : pour tout élément x dans E, x est aussi dans F.

Ainsi :

Soit x dans E, alors x est dans F, on a donc 1E(x)=1 et 1F(x)=1 donc 1E(x) < 1F(x)
Si x n'est pas dans E, 1E(x)=0. Mais soit x est dans F, dans ce cas 1F(x)=1, soit il ne l'est pas et 1F(x)=0. Dans les deux cas , 1E(x)=0 < 1F(x).

Dans tous les cas, 1E(x) < 1F(x), on a donc ce qu'on veut.

Concernant l'expression de 1(A delta B), tu as deux possibilités :

1) Montrer que 1(A delta B) et 1A+1B-2*1A*1B sont égaux. Pour ça, on montre que quelque soit l'élément x,

2) On part du fait que (la barre désigne le complémentaire dans E) et on développe 1(A delta B) à partir de ça.

wow ! Oui, je comprends le "poil" trop compliqué :++:
Merci pour cette démonstration.

Sinon, pour l'égalité 1(A delta B) = 1A+1B-2*1A*1B, je l'avais déjà fait.
Je préfère la second méthode, où il faut retrouver le résultat.
J'essaie et je te dis si j'ai des problèmes :++:

Merci encore

[capitaine nuggets]

montrer que E inclus dans F 1E < 1F

Il y a encore quelque chose qui me perturbe, c'est quand tu utilises .
La fonction étant une application de vers , est-ce que est clairement défini dedans ?

Parce que, par exemple : donc et par conséquent, ce qui est faux.

[Doraki]

[quote="capitaine nuggets"]Il y a encore quelque chose qui me perturbe, c'est quand tu utilises [TEX] 1A <= 1B
L'ensemble vide corrspond à la fonction nulle et l'ensemble E à la fonction constante 1.
l'opération différence symétrique correspond alors à l'addition mod 2 des fonctions indicatrices.
Il suffit de faire la table de vérité du ou exclusif et de comparer avec la table d'addition mod 2 : c'est la même chose.

Pour montrer l'associativité de la différence symétrique, quand on regarde chaque élément de E séparément, revient à montrer l'associativité du connecteur logique ou exclusif (xor)
Pour vérifier l'associativité du ou exclusif directement, tu as juste à vérifier que A xor (B xor C) = (A xor B) xor C pour chacune des 8 valuations possibles pour A,B,C.

[capitaine nuggets]

Oui, c'est un défaut des notations. Dans toute la discussion de Nightmare, pour toute partie de E, 1A est la fonction de E dans {0;1} qui vaut 0 sur E\A et 1 sur A (bien que E n'aparaisse pas dans la notation "1A")
Ce qui permet de traduire les relations entre les parties de E en relations entre les fonctions indicatrices correspondantes.
Et j'aurais mis un 1A <= 1B
L'ensemble vide corrspond à la fonction nulle et l'ensemble E à la fonction constante 1.
l'opération différence symétrique correspond alors à l'addition mod 2 des fonctions indicatrices.
Il suffit de faire la table de vérité du ou exclusif et de comparer avec la table d'addition mod 2 : c'est la même chose.

Pour montrer l'associativité de la différence symétrique, quand on regarde chaque élément de E séparément, revient à montrer l'associativité du connecteur logique ou exclusif (xor)
Pour vérifier l'associativité du ou exclusif directement, tu as juste à vérifier que A xor (B xor C) = (A xor B) xor C pour chacune des 8 valuations possibles pour A,B,C.

Merci pour cette précision à propos du < .

Mais oui ! Quand on y pense : A \Delta B s'interprète comme un ou "exclusif", merci :++:


Sinon, j'aimerais vous poser d'autres questions avant que je les oublies :

- Comment montrer qu'un ensemble B iclus dans A qui est un anneau, est un sous-anneau de A ?
- Quand on parle par exemple du groupe Z/6Z, quelle opération est implicitement désignée ? L'addition ?
- Petite question de notation : on note le corps lorsque p est premier ?

[vincentroumezy]

Si A est un anneau, et B un autre anneau inlus dans A, c'est ok, B est un sous-anneau de A.
(Z/6Z) est effectivement un groupe additif.
Oui, on note Fp le corps Z/pZ (il faut donc p premier).

[Nightmare]

Hello,

quelques correctifs :

1) Effectivement, mon < doit se lire comme un inférieur ou égal

2) Attention, il ne suffit pas d'être un sous-ensemble et un anneau pour être un sous-anneau, il faut aussi partager le même neutre (contre-exemple?)

3) La notation Fq désigne plus généralement le corps à q éléments. Un corps n'est pas nécessairement de cardinal premier, mais de cardinal une puissance d'un nombre premier, donc q=p^n. Cependant, Fq=Z/qZ seulement lorsque q est premier, sinon c'est un peu plus compliqué.

[vincentroumezy]

Exact, pour la 2).

[capitaine nuggets]

La notation Fq désigne plus généralement le corps à q éléments. Un corps n'est pas nécessairement de cardinal premier, mais de cardinal une puissance d'un nombre premier, donc q=p^n. Cependant, Fq=Z/qZ seulement lorsque q est premier, sinon c'est un peu plus compliqué. Par exemple F4=(Z/2Z)²

Quand tu dis "un corps" du parle de l'un des corps de Z/nZ ou d'un corps quelconque ?

Je ne comprends pas pourquoi .
Que vaudrait du coup

?

[Nightmare]

Je ne comprends pas pourquoi .

Parce que c'est une grosse bêtise que je n'aurais jamais dû écrire!

On a une façon générique de construire les corps finis à l'aide de polynômes, mais la construction sans être trop compliqué demande la connaissance des anneaux quotients.

[Doraki]

Comme groupes additifs, F4 et (Z/2Z)² sont isomorphes.
Mais si tu penses à l'anneau produit (Z/2Z)², ce n'est pas un corps donc ce n'est pas isomorphe à F4 comme anneaux.

Nightmare voulait attirer l'attention sur le fait que Z/4Z n'est pas le corps à 4 éléments, contrairement au lien entre Z/pZ et Fp. La première chose à voir c'est que (F4,+) si ça existe, c'est pas Z/4Z mais c'est (Z/2Z)².

Tu peux montrer que si un corps F contient le corps Fp, alors F est un Fp-espace vectoriel.
Et donc si F est fini, c'est donc un Fp-espace vectoriel de dimension finie, et on en déduit que (F, + ) est isomorphe à (Z/pZ, +)^n comme groupes commutatifs (mais ça ne dit rien sur la multiplication dans F).
Ensuite, pour montrer qu'un tel corps existe toujours et qu'ils sont uniques à isomorphismes près, c'est un peu plus dur.

[capitaine nuggets]

Comme groupes additifs, F4 et (Z/2Z)² sont isomorphes.
Mais si tu penses à l'anneau produit (Z/2Z)², ce n'est pas un corps donc ce n'est pas isomorphe à F4 comme anneaux.

Nightmare voulait attirer l'attention sur le fait que Z/4Z n'est pas le corps à 4 éléments, contrairement au lien entre Z/pZ et Fp. La première chose à voir c'est que (F4,+) si ça existe, c'est pas Z/4Z mais c'est (Z/2Z)².

Tu peux montrer que si un corps F contient le corps Fp, alors F est un Fp-espace vectoriel.
Et donc si F est fini, c'est donc un Fp-espace vectoriel de dimension finie, et on en déduit que (F, + ) est isomorphe à (Z/pZ, +)^n comme groupes commutatifs (mais ça ne dit rien sur la multiplication dans F).
Ensuite, pour montrer qu'un tel corps existe toujours et qu'ils sont uniques à isomorphismes près, c'est un peu plus dur.

Mouais, euh là, je commence à perdre le fil ...

Sinon j'ai revu l'histoire de l'inclusion avec les fonctions indicatrices :

Pour montrer que E inclus dans F 1E < 1F, on utilise une méthode usuelle quand on travaille avec des inclusions d'ensemble, qui consiste à traduire E inclus dans F par sa simple traduction en terme d'élément : pour tout élément x dans E, x est aussi dans F.

Ainsi :

Soit x dans E, alors x est dans F, on a donc 1E(x)=1 et 1F(x)=1 donc 1E(x) < 1F(x)
Si x n'est pas dans E, 1E(x)=0. Mais soit x est dans F, dans ce cas 1F(x)=1, soit il ne l'est pas et 1F(x)=0. Dans les deux cas , 1E(x)=0 < 1F(x).

Dans tous les cas, 1E(x) < 1F(x), on a donc ce qu'on veut.

Et j'arrive pas à faire la réciproque ()

[Nightmare]

Toujours avec la même méthode :

On prend x quelconque dans E, on veut prouver qu'il est dans F. Que peut valoir 1F(x) sous l'hypothèse que 1E(x) < 1F(x) ? Conclusion?

[capitaine nuggets]

Toujours avec la même méthode :

On prend x quelconque dans E, on veut prouver qu'il est dans F. Que peut valoir 1F(x) sous l'hypothèse que 1E(x) < 1F(x) ? Conclusion?

Si x est dans E alors 1E(x)=1 donc cela implique que 1F(x)=1 et par conséquent, x est dans F.

Ne dois-t-on pas traiter le cas "x n'est pas dans E" ?

[vincentroumezy]

Non, pour montrer que E est inclus dans F, il faut et il suffit de montrer que tout élément de E est dans F,ce que tu as fait.