Question générale sur les morphismes

[Dinozzo13]

Bonjour, j'aurais un petite question sur les morphismes.

Je commence par exemple :

Pour , on note qui, à tout , associe .
Montrer que est un morphisme de groupe.

Là, mon problème résidait dans le fait que je ne savais quels étaient les opérations mis en jeu.
Avec un peu de réflexion, j'ai trouver que les opérations en question était et .

J'aimerais donc savoir comment faire en général pour trouver ces opérateurs lorsqu'il ne sont pas donnés par l'exercice.

Merci d'avance :++:

[Skullkid]

Bonsoir, la plupart des ensembles classiques ont des structures "naturelles" qu'on a l'habitude d'omettre. Quand on parle du groupe , c'est qu'il est muni de l'addition. Quand on parle d'un groupe linéaire d'un corps, c'est qu'il est muni de la multiplication matricielle. Il te faut connaître les groupes/anneaux/espaces vectoriels/corps classiques et les lois associées. Quand les lois ne sont pas données explicitement, c'est, si l'énoncé est bien fait, que ce sont les lois naturelles qui sont considérées.

Ceci dit, je trouve critiquable de supposer que l'ensemble des fonctions de dans lui-même fait partie de ces ensembles "classiques", donc dans ton cas je pense que l'énoncé aurait dû préciser la loi sur cet ensemble. Malgré tout, il n'y a pas 36 lois possibles à passer en revue (juste addition, multiplication et composition, dans le cas des fonctions).

[Dinozzo13]

D'accord :++:

Il te faut connaître les groupes/anneaux/espaces vectoriels/corps classiques et les lois associées.

Peux-tu me donner de exemples :
- simples ;
- pas évidents ;
- joli(s) ;
s'il te plait ?

Dans mon cas, je n'arrive pas à trouver sachant que va d'un sous-espace vectoriel vers .

[Doraki]

Normalement ils sont donnés (parceque bon faire un énoncé imprécis c'est vachement de mauvais goût), ou alors ils sont évidents, ou dans la catégories des trucs que les gens doivent savoir sans hésitation, du genre "le groupe Z" ou alors "le groupe des éléments inversibles d'un anneau".

Le groupe GL2(R) c'est secrètement le groupe des éléments inversibles de l'anneau (M2(R),+,*).

Ensuite, ils ont même pas donné l'ensemble d'arrivée de f ni rien donc tu peux juste dire que f va de GL2(R) dans f(GL2(R)), et comme ils précisent pas de loi, si t'as pas d'inspiration tu peux toujours définir la loi aveuglément sur fM(GL2(R)) de manière à ce que f soit un morphisme. (on décide que pour tout a et b, f(a) "*" f(b) = f(a*b). il faut quand même vérifier que si f(a) = f(b) alors f(a*c) = f(b*c) de manière à ce que ce soit bien défini, mais là ça va).

Si l'énoncé avait été complet ils auraient dit que f va dans l'ensemble des permutations de Ru{infini} ou l'ensemble des homographies ou ne sais quoi, qui est un groupe pour la composition.

[Dinozzo13]

Le groupe GL2(R) c'est secrètement le groupe des éléments inversibles de l'anneau (M2(R),+,*).
(...)Si l'énoncé avait été complet ils auraient dit que fM va dans l'ensemble des permutations de Ru{infini} ou l'ensemble des homographies ou ne sais quoi, qui est un groupe pour la composition.

Oui ça je l'avais bien compris :++:
Je suis d'accord : si l'énoncé avait été complet :+++:

@Skullkid : D'accord :++:

Il te faut connaître les groupes/anneaux/espaces vectoriels/corps classiques et les lois associées.

Peux-tu me donner de exemples :
- simples ;
- pas évidents ;
- joli(s) ;
s'il te plait ?

Dans mon cas, je n'arrive pas à trouver sachant que va d'un sous-espace vectoriel vers .

[Skullkid]

Normalement tu rencontres les ensembles classiques et leur structure naturelle au fur et à mesure du cours, je ne saurais te faire une liste exhaustive... Mais quelques exemples parmi les plus courants qui sont censés être connus, en excluant les grands ensembles de nombres :

le -espace vectoriel des n-uplets sur le corps .

le -espace vectoriel des suites sur le corps .

le groupe linéaire de degré n du corps , ensemble des matrices carrées inversibles de taille n à coefficients dans .

le groupe linéaire de l'espace vectoriel E, ensemble des automorphismes de E.

l'algèbre des endomorphismes de l'espace vectoriel E.

l'anneau des entiers modulo n (corps si n est premier).

le groupe symétrique d'indice n, ensemble des permutations de |[1,n]|.

le groupe spécial linéaire de degré n du corps , formé des éléments de de déterminant 1.

le -espace vectoriel des fonctions réelles de carré sommable.

Pour ton dernier exemple, les lois naturelles sur R² c'est celles que tu utilises depuis la troisième quand tu fais de la géométrie avec des vecteurs (somme de deux vecteurs, multiplication d'un vecteur par un scalaire), et les lois naturelles sur R^N c'est celles que tu utilises depuis la première sur les suites (somme de deux suites, multiplication d'une suite par un scalaire) : rien de nouveau.

@Doraki : l'espace d'arrivée de fM est donné dans l'énoncé, c'est la loi sur cet espace qui n'est pas donnée.

[Doraki]

l'espace d'arrivée de fM est donné dans l'énoncé, c'est la loi sur cet espace qui n'est pas donnée.

Ah oui j'ai confondu fM avec f : M -> fM

[Dinozzo13]

Waoh merci pour ces exemples :++:

le groupe spécial linéaire de degré n du corps , formé des éléments de de déterminant 1.

le -espace vectoriel des fonctions réelles de carré sommable.

Si j'ai bien compris .
Pourquoi spécial ?
Par contre, je ne comprends pas bien le dernier exemple.

Tu me dis la multiplication par un scalaire, mais n'est-elle pas externe ?
Quand tu mets , cela désigne-t-il la multiplication ou le produit scalaire ?

Est-ce que signifie quelque chose ?
Non selon moi.

Enfin, quelle est la différence entre la notation et ?

[Skullkid]

Si j'ai bien compris .
Pourquoi spécial ?

Oui SL est un sous-groupe de GL. Pourquoi spécial ? J'en sais trop rien, c'est comme ça qu'il s'appelle...

Tu me dis la multiplication par un scalaire, mais n'est-elle pas externe ?

Oui, un espace vectoriel est muni d'une loi interne (une "addition") et d'une loi externe (une "multiplication par un scalaire").

Quand tu mets , cela désigne-t-il la multiplication ou le produit scalaire ?

La multiplication externe. En général quand on fait de l'algèbre on ne note pas les produits scalaires par un point, justement pour ne pas les confondre avec les lois externes. De plus la structure "ensemble + loi interne + produit scalaire" n'existe pas, notamment parce que la définition du produit scalaire nécessite une loi interne et une loi externe.

Est-ce que signifie quelque chose ?
Non selon moi.

Cette notation n'est pas classique (en algèbre linéaire du moins), mais ça ne veut pas dire qu'elle n'a pas de sens : elle a un sens si tu la définis. La définition la plus naturelle (si a, b, c et d sont des nombres) serait , mais tu peux choisir par exemple , ou même faire le choix (peu recommandé) de noter un produit scalaire par .

Enfin, quelle est la différence entre la notation et ?

L'usage en algèbre est de noter les lois internes "multiplicatives" et . les lois externes.

[Dinozzo13]

Ok, merci beaucoup pour toutes ces explications :+++:

J'ai un doute : quand on parle de morphisme de E vers F, E et F sont supposés de même natures ?
Morphisme de groupe : E et F sont des groupes ;
Morphisme d'espace vectoriel : E et F sont des espaces vectoriels ;
Réciproquement, si E ou F est un groupe, espace vectoriel ou etc. et qu'il existe un morphisme de E vers F alors F ou E est bien de la même nature que E ou F ?

[Skullkid]

Oui, un morphisme de groupes, c'est entre deux groupes, etc. C'est pour ça qu'on parle de "morphisme de groupes" et pas de "morphismes d'un groupe vers un anneau". Pour définir un morphisme entre deux ensembles structurés, il te faut deux ensembles structurés, si l'un des ensembles n'est pas structuré tu ne peux pas parler de morphisme (mais tu peux te servir d'une application qui a toutes les propriétés qu'aurait un morphisme pour transporter la structure d'un ensemble sur l'autre, et a posteriori cette application devient un morphisme entre tes deux ensembles structurés).

N'hésite pas à relire tes cours.

[Dinozzo13]

Très bien merci :++:

Du point de vue mathématiques, à quoi servent les morphismes ?
On m'a dit qu'on pouvait résoudre des équ diff avec, est-ce vrai ?

Aurais-tu quelques exercices intéressant à me proposer sur les morphismes ?

[Dinozzo13]

Très bien merci :++:

Du point de vue mathématiques, à quoi servent les morphismes ?
On m'a dit qu'on pouvait résoudre des équ diff avec, est-ce vrai ?

Aurais-tu quelques exercices intéressant à me proposer sur les morphismes ?

[Dinozzo13]

Très bien merci :++:

Du point de vue mathématiques, à quoi servent les morphismes ?
On m'a dit qu'on pouvait résoudre des équ diff avec, est-ce vrai ?

Aurais-tu quelques exercices intéressant à me proposer sur les morphismes ?

[Skullkid]

Les morphismes ce sont les "bonnes" fonctions en algèbre, un peu comme les fonctions régulières (continues, dérivables, ...) sont les bonnes fonctions en analyse. Les morphismes permettent d'explorer les structures et de les lier entre elles. J'ai toujours du mal à répondre aux questions du type "à quoi ça sert ?" sans être vague comme je viens de l'être, mais pour un exemple précis, la théorie de Galois, qui déchaîne périodiquement les passions de certains membres, donne une place centrale à certains groupes dont les éléments sont des morphismes. En étudiant ces ensembles de morphismes, on peut prouver qu'il est possible ou non d'exprimer les solutions d'une équation polynomiale donnée en fonction des coefficients de cette équation (en n'utilisant que les 4 opérations et les racines n-ièmes).

Je sais pas trop où tu en es donc j'ai du mal à juger quels exercices peuvent être intéressants pour toi, mais par exemple :

- Trouver tous les morphismes de groupes de dans .

- Les groupes et sont-ils isomorphes ? Si oui, expliciter un isomorphisme. Même question pour et .

- (Théorème de Cayley) Soit G un groupe. Pour tout élément g de G on définit l'application de G dans lui-même par . Montrer que est bijective. Montrer que G est isomorphe à un sous-groupe de (groupe des bijections de G dans lui-même, muni de la composition).

[Dinozzo13]

Salut !

- Trouver tous les morphismes de groupes de dans .

- Les groupes et sont-ils isomorphes ?

- J'en ai déjà fait un similaire à celui-là, mais plus simple à mon avis ^^

- Cette question, j'arrive jamais à y répondre. Pour moi, ils sont isomorphes ssi il existe un isomorphise de l'un vers l'autre. Mais comme ça te dire si oui ou non ils le sont...

[Dinozzo13]

- Les groupes et sont-ils isomorphes ? Si oui, expliciter un isomorphisme.

Quoique, là c'est trivial : c'est l'exponentielle :

[Skullkid]

Quoique, là c'est trivial : c'est l'exponentielle :

Exact. Quand on te demande si oui ou non deux structures sont isomorphes, demande-toi à quoi peut ressembler un isomorphisme s'il existe. Si la réponse est oui, ça te permettra de construire l'isomorphisme, si la réponse est non, tu devrais réussir à exhiber une contradiction.

[Dinozzo13]

Exact. Quand on te demande si oui ou non deux structures sont isomorphes, demande-toi à quoi peut ressembler un isomorphisme s'il existe. Si la réponse est oui, ça te permettra de construire l'isomorphisme, si la réponse est non, tu devrais réussir à exhiber une contradiction.

Que veux-tu dire par "une contradiction" ?

Pour le morphisme de dans , j'aimerais que tu me guides un peu parce que, je manque cruellement de rigueur pour résoudre cette exo.

Je trouve comme unique solution l'application nulle.

[Skullkid]

Que veux-tu dire par "une contradiction" ?

Si la réponse est "non, il n'existe aucun isomorphisme entre G et H", une méthode pour le prouver c'est de faire un raisonnement par l'absurde, en supposant qu'un tel isomorphisme existe, et d'exhiber une contradiction.

Pour le morphisme de dans , j'aimerais que tu me guides un peu parce que, je manque cruellement de rigueur pour résoudre cette exo.

Je trouve comme unique solution l'application nulle.

C'est la bonne réponse, mais il faut me montrer des raisonnements si tu veux que je puisse t'aider. Aussi, il faut que tu apprennes à "sécher" sur un exercice, à ne pas paniquer parce que tu ne trouves pas la solution en 20 minutes et à explorer des pistes seul.