Groupes - morphismes

[Doraki]

Est-ce que et sont deux écritures de sens différents ?

Non j'pense que tout le monde le lira de la même façon. Aussi on te regardera bizarrement si un jour tu écris "f((a,b))".
Tant que le contexte indique clairement le type de trucs que désignent les variables x et y, c'est bon.

--> Peut-on dire que les fonctions et définies par :
et ,
sont isomorphes ?

isomorphe ça ne s'utilise pas dans ce contexte. Tu peux dire que c'est la même modulo la composition par la bijection usuelle entre C et R².

Quand j'étais en terminale, concrètement on m'a défini C := R², donc de ce point de vue là, c'est la même fonction (mais bon ça ne plaît pas forcément à tout le monde)

[capitaine nuggets]

Non j'pense que tout le monde le lira de la même façon. Aussi on te regardera bizarrement si un jour tu écris "f((a,b))".

Ok, non parce que mon prof du premier semestre écrivait par moment f((x,y)), donc je ne comprenais pas bien.

Merci pour ta précieuse aide.


J'aurai besoin d'une petite aide sur un exercice portant sur la démonstration du théorème de Lagrange pour les groupes :

On se donne un groupe de neutre , un sous-groupe de et une relation définie sur par : .

1°) Montrer que est une relation d'équivalence sur G.

Réflexivité : est un groupe donc .
Or est un sous-groupe de donc et par suite, ;

Symétrie : Par définition : .
Or H est un sous-groupe de donc .
Par suite, si alors ;

Transitivité : Soit .
.
Or est un sous-groupe de pour la loi induite par donc .
Par suite :

.
Enfin, par associativité dans , il vient :
.

2°) Montrer que les classes d'équivalences modulo ont toutes le même cardinal

Soit . Posons la classe d'équivalence de modulo .

Mais après je sèche totalement.
Je ne vois pas du tout comment faire.

[Doraki]

ben déjà tu peux remplacer xRy par sa définition.
Et ensuite voir si tu peux pas mettre cette mystérieuse classe en bijection avec H.

[vincentroumezy]

Utilies le fait que les classes forment une paartition de G.

[capitaine nuggets]

ben déjà tu peux remplacer xRy par sa définition.
Et ensuite voir si tu peux pas mettre cette mystérieuse classe en bijection avec H.

, mais après je ne vois pas ce que tu me demandes de faire.

Utilies le fait que les classes forment une paartition de G.

Ah oui !
Les classes d'équivalence de modulo forment une partition de équivaut à :
- Toutes les classes sont non vides : ;
- Toutes les classes sont deux à deux disjointes : ;
- La réunion de toutes ces classes est : .

(Si je me rappelle bien de la définition de partition).

Mais comment exploiter le fait qu'il s'agisse d'une partition pour montrer que toutes les classes ont le même cardinal ?

[vincentroumezy]

Trouves une bijection entre H et la classe d'UN élément quelconque de G.

[capitaine nuggets]

Trouves une bijection entre H et la classe d'UN élément quelconque de G.

Je veux bien, mais comment la trouver cette bijection ?
Désolé mais j'ai jamais fait ça auparavant :triste:

[vincentroumezy]

Tu veux vraiment que je te la donne ?
Parcque je ne sais pas trop comment te la faire trouver par toi-même.

[Doraki]

Dans "cl(x) = {y de G / yx^-1 est dans H}" tu as EXPLICITEMENT une fonction de cl(x) dans H.

[capitaine nuggets]

Dans "cl(x) = {y de G / yx^-1 est dans H}" tu as EXPLICITEMENT une fonction de cl(x) dans H.

On peux prendre l'application f : cl(x) --> H telle que f(y)=yx^-1 ?

[vincentroumezy]

Tu peux prendre ce que tu veux, l'essentiel est de montrer que c'est bien une bijection(si c'en est une, je n'ai pas vérifié) (il doit en exister plusieurs).

[Doraki]

oui. Maintenant il faut se demander si elle est bijective, c'est-à-dire si pour tout h de H il existe un unique y dans G tel que yx^-1 = h.

[capitaine nuggets]

oui. Maintenant il faut se demander si elle est bijective, c'est-à-dire si pour tout h de H il existe un unique y dans G tel que yx^-1 = h.

Oui elle est bijective mais qu'en faire ?
Sa réciproque est définie par : .

[vincentroumezy]

Souviens toi que deux ensembles en bijection ont même cardinal.

[Doraki]

C'est même la définition de "avoir le même cardinal".

[capitaine nuggets]

Souviens toi que deux ensembles en bijection ont même cardinal.

Ah mais seulement !

Mais en revenant à ma question, je ne vois pas comment on y a répondu :triste:

[vincentroumezy]

Toutes les classes ont le même cardinal, forment une partition de G, donc leur card divise celui de G, donc Lagrange est démontré.

[capitaine nuggets]

Toutes les classes ont le même cardinal, forment une partition de G, donc leur card divise celui de G, donc Lagrange est démontré.

Ah ok, je suis d'accord.

Toutefois, il reste une question, donc je ne sais pas si l'on peut conclure ça tout de suite :

3°) En déduire .

Là déjà, je ne comprends la signification du membre de droite.
Enfin, je ne sais pas non plus d'où partir.

[vincentroumezy]

card(G/R) c'est le nombre de classes.

[capitaine nuggets]

card(G/R) c'est le nombre de classes.

Ah mais oui bien-sûr : G/R = {classes d'équivalences}.

C'est bon, je pense avoir compris en majorité.

Néanmoins, je ne comprends pas vraiment le déroulement et le rôle de chaque questions.
Pourrais-tu m'expliquer aussi, pourquoi commencer par poser une relation au début ?