Exercice tribu+négligeable

[marawita1]

Bonsoir,
J'ai un petit exercice dont j'ai besoin de vos aides.

Soit .

a) Vérifier que est une tribu sur .

b)On définit sur la mesure de Lebesgue induite . Déterminer l'ensemble des

éléments -négligeables dans .



Pour le a):
c'est clair que

*)soit , montrons que . Il faut distinguer 4 cas pour A et dans chaque

cas c'est clair que .

*)Je ne sais pas comment montrer que est stable par réunion dénombrable.

Pour le b):
Une partie A est négligeable s'il existe tel que et

. Mais l'unique ensemble appartenant à et de mesure nulle c'est le

vide.

Après je ne sais pas que ce qu'on peut déduire!!!!

[capitaine nuggets]

Salut !

Soit une suite d'éléments de ; notons la réunion dénombrable de ces éléments...

1) Puisque de manière générale, le fait d'ajouter à une réunion l'ensemble vide n'influe pas cette réunion (), on peut supposer (quitte à renuméroter) que tous les sont non vides.

a) Que se passe-t-il si au moins un des est tout entier ?
b) Supposons qu'aucun des n'est tout entier. Il y a alors trois cas à distinguer :
i) La réunion contient des ensembles égaux à et ;
ii) La réunion contient uniquement des ensembles égaux à ;
iii) La réunion contient uniquement des ensembles égaux à ;

2) Il restera alors à traiter le cas où tous les sont vides, mais c'est trivial !

[marawita1]

Salut !

Soit une suite d'éléments de ; notons la réunion dénombrable de ces éléments...

1) Puisque de manière générale, le fait d'ajouter à une réunion l'ensemble vide n'influe pas cette réunion (), on peut supposer (quitte à renuméroter) que tous les sont non vides.

a) Que se passe-t-il si au moins un des est tout entier ?
b) Supposons qu'aucun des n'est tout entier. Il y a alors trois cas à distinguer :
i) La réunion contient des ensembles égaux à et ;
ii) La réunion contient uniquement des ensembles égaux à ;
iii) La réunion contient uniquement des ensembles égaux à ;[/qoute]

2) Il restera alors à traiter le cas où tous les sont vides, mais c'est trivial !

C'est compris.Merci bien

Pour l'autre question, avez vous une idée?

[capitaine nuggets]

Ben tu as rappelé toi-même la définition d'ensemble négligeable : c'est un ensemble inclus dans un ensemble de mesure nulle. Or seul l'ensemble vide est de mesure nulle et n'est inclus dans aucun autre ensemble de mesure nulle puisque et (on notant indifférement la mesure de Lebesgue et la mesure de Lebesgue induite).

Seuls les sous-ensembles de parties dénombrables de sont négligeables.

[marawita1]

Ben tu as rappelé toi-même la définition d'ensemble négligeable : c'est un ensemble inclus dans un ensemble de mesure nulle. Or seul l'ensemble vide est de mesure nulle et n'est inclus dans aucun autre ensemble de mesure nulle puisque et (on notant indifférement la mesure de Lebesgue et la mesure de Lebesgue induite).

Seuls les sous-ensembles de parties dénombrables de sont négligeables.

J'ai pas compris votre déduction, normalement (à mon avis) d'après ce que vous avez dit il n'existe aucun ensemble négligeable dans . Non?

[capitaine nuggets]

seul l'ensemble vide est de mesure nulle et n'est inclus dans aucun autre ensemble de mesure nulle puisque et

Oui, j'ai oublié de préciser, je reprends :

seul l'ensemble vide est de mesure nulle et n'est inclus dans aucun autre ensemble de mesure nulle à part lui-même puisque et

Donc comme tu l'as dit, seul l'ensemble vide est négligeable dans ta tribu.

Seuls les sous-ensembles de parties dénombrables de sont négligeables.

Ca c'est juste à titre informatif

[Ben314]

Seuls les sous-ensembles de parties dénombrables de sont négligeables.

Heuuuuuu...
=> Ensemble de Cantor (par exemple...)

[capitaine nuggets]

Ah mince, je l'avais oublié celui-là... Au temps pour moi, il en existe d'autres !

[marawita1]

Donc si j'ai bien compris, l'unique ensemble négligeable dans est le vide.

C'est vrai?